数列通项公式
数学计算公式
按一定次序排列的一列数称为数列,而将数列{an} 的第n项用一个具体式子(含有参数n)表示出来,称作该数列的通项公式。这正如函数解析式一样,通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法,通常是由其递推公式经过若干变换得到。
求法
等差数列
对于一个数列{ an },如果任意相邻两项之差为一个常数,那么该数列为等差数列,且称这一定值差为公差,记为 d ;从第一项 a1到第n项 an的总和,记为Sn 。
那么 , 通项公式为
,其求法很重要,利用了“叠加原理”的思想:
将以上 n-1 个式子相加, 便会接连消去很多相关的项 ,最终等式左边余下an ,而右边则余下a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。
此外, 数列前 n 项的和 ,其具体推导方式较简单,可用以上类似的叠加的方法,也可以采取迭代的方法,在此,不再复述。
值得说明的是, ,也即,前n项的和Sn 除以 n 后,便得到一个以a1 为首项,以 d /2 为公差的新数列,利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。
等比数列
对于一个数列 {an},如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数,那么该数列为等比数列,且称这一定值商为公比 q ;从第一项a1 到第n项an 的总和,记为Tn 。
那么, 通项公式为 (即a1 乘以q 的 (n-1)次方,其推导为“连乘原理”的思想:
a2=a1 * q,
a3= a2 * q,
a4= a3 * q,
````````
an=an-1 * q,
将以上(n-1)项相乘,左右消去相应项后,左边余下an , 右边余下a1和(n-1)个q的乘积,也即得到了所述通项公式。
此外, 当q=1时 该数列的前n项和
当q≠1时 该数列前n 项的和 =
一阶数列
概念
不妨将数列递推公式中同时含有an 和an+1的情况称为一阶数列,显然,等差数列的递推式为
an=an-1 + d , 而等比数列的递推式为 an =an-1 * q ; 这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为: an+1 = A *an + B ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么,等差数列就是A=1 的特例,而等比数列就是B=0 的特例。
思路
基本思路与方法: 复合变形为基本数列(等差与等比)模型 ; 叠加消元 ;连乘消元
思路一: 原式复合 ( 等比形式)
可令an+1 - ζ = A * (an - ζ )········① 是原式☉变形后的形式,即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值, 整理①式 后得an+1 = A*an + ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得,
ζ - A*ζ = B
即解出 ζ = B / (1-A)
回代后,令 bn =an - ζ ,那么①式就化为bn+1 =A*bn , 即化为了一个以(a1 - ζ )为首项,以A为公比等比数列,可求出bn的通项公式,进而求出 {an} 的通项公式。
思路二: 消元复合(消去B)
由 an+1 = A *an + B ········☉ 有
an = A* an-1 +B ··········◎
☉式减去◎式可得 an+1 - an = A *( an - an-1)······③
令bn = an+1 - an 后, ③式变为bn = A*bn-1 等比数列,可求出bn 的通项公式,接下来得到 an - an-1 = (其中 为关于n的函数)的式子, 进而使用叠加方法可求出 an
二阶数列
概念
类比一阶递归数列概念,不妨定义同时含有an+2 、an+1、an的递推式为二阶数列,而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形,可以先如此诠释二阶数列的简单形式:
an+2 = A * an+1 +B * an , ( 同样,A,B常系数)
思路
基本思路类似于一阶,只不过,在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合: 令 原式变形后为这种形式 an+2 - ψ * an+1 = ω (an+1 - ψ * an)
将该式与原式对比 ,可得
ψ + ω = A 且 -(ψ*ω)= B
通过解这两式可得出 ψ与ω的值,
令bn = an+1 - ψ*an , 原式就变为bn+1 = ω *bn 等比数列,可求出bn 通项公式bn= f (n) ,
即得到 an+1 - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义,即只含有an+1和an 两个数列变项,从而实现了“降阶”,化“二阶”为“一阶”,进而求解。
常见类型
累加法
递推公式为 ,且f(n)可以求和
例:数列{an},满足a1=1/2,an+1 = an + 1/(4n2-1),求{an}通项公式
解:an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an = a1 +(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))
∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=
累乘法
递推公式为 且f(n)可求积
例:数列{an }满足 ,且a1=4,求an
解:
an = 2n(n+1)
构造法
将非等差数列、等比数列,转换成相关的等差等比数列
连加相减
例:{an}满足a1+ 2a2+ 3a3+……+ nan = n(n+1)(n+2)
解:令bn = a1+ 2a2+ 3a3+……+ nan = n(n+1)(n+2)
nan = bn - bn-1 = n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an = 3(n+1)
参考资料
最新修订时间:2024-06-17 19:05
目录
概述
求法
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