放缩法
不等式的证明里的一种方法
放缩法是指要让不等式A＜B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B，这种方法便是放缩法，是不等式问题里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法，函数法，数学归纳法等。
理论依据
（1）不等式的传递性：如果A＞C,C＞B,那么A＞B；
（2）等量加不等量为不等量；
（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。
常见技巧
（1）舍掉（或加进）一些项。
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩（例如均值不等式）。
（4）应用函数的单调性进行放缩。
（5）根据题目条件进行放缩。
（6）构造等比数列进行放缩。
（7）构造裂项条件进行放缩。
（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。
（9）利用裂项法进行放缩。
（10）利用错位相减法进行放缩。
注意事项
（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。
应用
对一个式子进行估值
例：求的整数部分。
解：设原来的式子为S。那么，故S的值介于90和90.95之间，显然其整数部分为90.
例：已知A=12345678910111213，B=312111123456789，求的小数点后前三位数字。
解：因为，所以其小数点后前三位数字是395.
构造不等式
例：求证：
解：，故得证。
【注】该题的证明过程是将原式的第二项开始放大，实际上，若从原式的第三项、第四项……开始放大，可以得到更精确的结果。
例：求使得m2+m+7是完全平方数的所有正整数m的值。
解：因为（依据条件，为正整数）
如果有，那么便肯定不为完全平方数，因为两个相邻数的完全平方数之间没有其他完全平方数。
所以，可能的条件必须为
解得
然后一一查证得知，和符合条件。
例：已知p、q、、都是非负整数，且p＞1,q＞1,求p+q的值。
解：不妨设p≥q。则，故=1或0.
当=0时，q=0.5，舍。
当=1时，2q-1=p。
将2q-1=p代入得为非负整数，
又q＞1，故q=3，p=2×3-1=5，那么p+q=5+3=8.
总结
参考资料
万方数据知识服务平台.万方数据知识服务平台.
最新修订时间：2024-10-30 22:01
条目作者
小编
目录
概述
理论依据
常见技巧
参考资料

Copyright©2024 闽ICP备2024072939号-1