若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，简称平方数。完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；平方数只能是形如3k或3k+1的数；奇平方数的十位数一定是偶数；若平方数的末位数是奇数，则其十位数字必为偶数。

在自然数中, 1，4，9，.......n2.......是一类很重要的整数，称为完全平方数。古代人从几何图形的角度称其为正方形数----形数的一种，对这类整数从古代至今已有许多的研究，所得的结论常被用于数列、不定方程和密码信息学的算法分析等问题。例如十八世纪法国的Lagrange就建立了关于完全平方数的一条重要的著名定理：每一个正整数都能表示成至多四个整数的平方和，它用不定方程的术语可以叙述为，对于任意的n∈N，不定方程n=x2+y2+z2+w2都存在整数解组。

如果一个自然数a是某一个整数b的平方，那么这个自然数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下：

（1）平方数的个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 。

（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1，即被4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。

（3）完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是 6 时，其十位数字必为奇数。

（4）凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个 0 的自然数不是完全平方数；个位数字是 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

（5）除 1 外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后， 各个指数都为偶数， 那么它肯定是个平方数。 完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。

（6）若质数 p 整除完全平方数 a，则 |a。

（7）如果 a 、b 是完全平方数， c=ab ，那么 c 也是完全平方数。

（8）两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。

（9）如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

（10）偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

（11）奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）

（12）形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

（13）不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

（14）形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。

（15）性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。

（16）在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

（17）一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。

（1）个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数；

（2）个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

（3）个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

（4）形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

（5）形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

（6）形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

（7）形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

（8）数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数；

（9）四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和；

（10）完全平方数的因数个数一定是奇数。

完全平方式分两种：

（1）完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，例如：

（2）完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。例如：

口诀：首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

它与完全平方式的区别是：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。

一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x，依题意可得：

x-45=m2 ⑴

x+44=n2 ⑵

（m,n为自然数）

⑵-⑴可得 ：n^2-m^2=89

因为n+m＞n-m

又因为89为质数，

所以：n+m=89; n-m=1

解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。