指示函数
定义在某集合X上的函数
在集合论中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。
定义
在数学中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集 ，常应用在集合论中。指示函数有时候也称为特征函数。已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数。
集X的子集 的指示函数是函数 ，定义为
.
的指示函数也记作 或
简单性质
把 的子集 对应到它的指示函数的映射是双射，值域是所有函数 的集合。
如果 和 是 的两个子集，那么
以及
更一般地，设 是 的子集。对任意 ，可知
当且仅当x不属于任何。
故有
展开左式
其中是的势。这是容斥原理的一个形式。
如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若是概率空间，有概率测度P，是可测集，那么就是随机变量，其期望值等于的概率，
这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明里。
参考资料
最新修订时间：2022-08-25 14:09
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