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子集

一个数学概念

子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。

定义

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。

即：∀a∈A有a∈B，则A⊆B。

如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊂ B。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，且x∈B使x∉A，则A⊊B。

如图1所示，集合A就是集合B的真子集。

性质

一、根据子集的定义，我们知道A⊆A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

二、对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集。

说明：若A=∅，则∅⊆A仍成立。

为了证明∅不是A的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A的子集。

三、若A、B、C是集合，则：

自反性：A=A

反对称性：当且仅当且时，

传递性：若且，则

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

四、，

这个命题说明：对任意集合S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

五、：对任意两个集合 A 和 B，下列所有表述等价：

并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

六、假设非空集合A中含有n个元素，则有：

参考资料

最新修订时间：2023-08-31 00:07

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概述

定义

性质

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