尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

这里的“直尺”和“圆规” 跟现实中的并非完全相同，具有抽象意义。

直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。

同时，仅以“有限次使用无刻度的直尺和圆规作图”这样的措辞作为定义显然是不够严密的，因为不限定每“次”以内的操作复杂度的话，“有限次”就成无意义的了。

因此，一般采用的定义是基于“作图公法”的定义，即：

1. 每次的操作只能是公认允许的五项基本操作（称为五项作图公法）之一。

2. 每次操作之前，操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断，也只能是几何学中公认允许的几种。

基于“作图公法”的定义如下：

尺规作图定义

承认以下五项前提，有限次运用以下五项公法而完成的作图方法，就是合法的尺规作图：

五项前提是：

(1) 允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点（所谓“确定范围”，依下面四条的规则）。

(2) 可以判断同一直线上不同点的位置次序。

(3) 可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序。

(4) 可以判断平面上一点在直线的哪一侧。

(5) 可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。

五项公法是：

(1) 根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。

(2) 以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。

(3) 确定两个已经做出的相交直线的交点。

(4) 确定已经做出的相交的圆和直线的交点。

(5) 确定已经做出的相交的两个圆的交点。

也有些资料上给出的五项公法的后两条中的“交点”改为“公共点”。这两种叙述差别在于后者多包括了“切点”。但是，因为确定切点即使不算基本操作，也是可以用其它基本操作组合实现的。所以，两种叙述的定义并无本质不同。

尺规作图，起源于古希腊。

希腊人强调作图只能用直尺圆规，有下列原因：

①希腊几何的基本精神，是从极少的基本假定（定义、公理、公设）出发，推导出尽可能多的命题。

②受柏拉图哲学思想的影响。

③以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象。

史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯，他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。

“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”就像木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股。

矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.

《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.

春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性。

由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则。到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题。1882年林德曼证明了π是超越数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案。

从坐标系观点看，所有的点和线都可以用坐标、方程的参量来代替，尺规作图能够完成两根线段的和差积商，因此可做图的数成为一个域。

直线和圆都是二次方程，稍微细致的讨论可知，尺规作图能够完成开平方，也就是域的二次扩张。

因此，如果已知量与有理数生成的数域为，量可以尺规作图的充要条件是，存在域塔：

其中相邻的域扩张都是二次的。

换句话说，除了四则运算之外，只用到开平方的，可以尺规作图。

但如果是开立方之类的情况，除了完全立方之类的特殊情况，一般不能尺规作图。

当然，开四次方八次方，可以连续开平方，所以也是可以尺规作图的。

（1）解作图题一般步骤：

①将题给的条件具体化；

②具体叙述所作图形应满足的条件；

③寻找作图方法的途径；

④根据分析所得的作图方法作出正式图形，并依次叙述作图的过程；

⑤为了验证所作的图形是否正确，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作的图形完全满足题中所要求的条件；

⑥研究这个问题是不是在什么条件下都能作出图形来．在什么情况下，有唯一解，或多解，或没有解。

（2）几何作图题的一般思路：

① 假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件。

② 分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法。

③ 运用基本作图法确定关键点，然后完成作图。

（1）轨迹交点法

例如，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？

（2）代数作图法：

例如，只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）。

（3）旋转作图法：

例如，已知：直线a、b、c，且a∥b∥c。求作：正⊿ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上。

（4）位似法作图：

例如，已知：一锐角⊿ABC求作：一正方形DEFG，使得D、E在BC上，F在AC上，G在AB上。

（5）面积割补法

例如，过⊿ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分⊿ABC的面积。

1、作一条线段等于已知线段

2、作一个角等于已知角

3、作已知线段的垂直平分线

尺规作图

4、作已知角的角平分线

5、过一点作已知直线的垂线

6、已知一角、一边作等腰三角形

7、已知两角、一边作三角形

8、已知一角、两边作三角形

【已知】不共线的A、B、C三点。

【求作】过该三点之圆。

【作法】① 连接AB，连接AC；② 分别作出线段AB、AC的中点D、E；③ 过D作AB的垂线，过E作AC的垂线，两垂线相交于O；④ 以O为圆心OA长为半径作圆，即为求作之圆。

【已知】平行直线L1、L2、L3。

【求作】正△ABC，使三个顶点分别落在三条平行线上。

【作法一】① L1上任取一点D为顶点，作正三角形△DBE，使B、E落在L2上（图1中虚线为正三角形简易作法）；② 作过D、E直线交L3于C；③ 以B为圆心BC为半径作弧交L1于A，连接A、B、C成△ABC。

【作法二】① L2上任取一点B作三平行线公垂线交L1于E，L3于D；② 作线段EB的垂直平分线L4；③ 过D作直线DG使∠EDG = 30°，并交L4于G；④过B、G作直线交L1于A；⑤ 以B为圆心BA为半径作弧交L3于C，连接A、B、C成△ABC。

注：可将第⑤步改为，过G作AB的垂线交L3于点C.这样G,B,D,C四点显然共圆．于是可证得∠BCG=∠EDG = 30°.这样可以很快证得△ABC为等边三角形。

几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决。从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等。不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系。