密切平面_最贴近曲线的切平面 - 威林百科weilinceramic.com

密切平面

最贴近曲线的切平面

对于空间曲线而言，过曲线上一点有无数多个切平面，其中有一个最贴近曲线的切平面，被称为密切平面，它在讨论曲线的性质时有很重要的作用。

定义

密切平面（osculating plane）：

过空间曲线上P点的切线和曲线上与P点的邻近一点Q可作一平面σ，当Q点沿着曲线趋近于P时，平面σ的极限位置π称为曲线在P点的密切平面。

等价定义：

过空间曲线上点P和曲线上它充分靠近的点，作一平面。当，独立的趋近于零时，平面的极限位置称为曲线的P点处的密切平面。

计算公式

1、曲线用一般参数表示

给出类的曲线（C）

如图1所示，密切平面的方程为：

其中表示P点的密切平面上任意一点的向径。

用行列式表示为

2、曲线用自然参数表示

给出类的曲线（C）

则曲线（C）在点的密切平面的方程是

用行列式表示为

3、曲线用基本向量表示

为曲线在一点的单位切向量，和主法向量。

计算实例

例：求螺线 x=cost，y=sint，z=t 上点（1，0，0）的密切平面

解：在（1，0，0）点，t=0.并将t=0带入各阶导数求得

= （cost，sint，t）， = （1，0，0）；

= （-sint，cost，1）， = （0，1，1）；

= （-cost，-sint，0）， = （-1，0，0）；

所求密切平面的方程为

即

性质及意义

1、密切平面对弧长s的变化率为，即扰率的绝对值。刻画了曲线偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度。

2、若曲线为平面曲线，那么它在每一点的密切平面都是曲线所在的平面。反之，曲线的密切平面固定，则曲线为平面曲线。

3、密切平面、法平面、从切平面所构成的图形称为曲线的基本三棱形。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 16:12

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