从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。完全剩余系常用于数论中存在性证明。

在模n的剩余类中各取一个元素，则这n个数就构成了模n的一个完全剩余系。

[congruence]

命 n 为一个自然数，a，b为整数。如果 为 n 的整数倍，则称 a，b 关于 n 同余，用同余式 (mod n) 记之。否则称a，b关于 n 不同余，记为 （mod n）。我们称 n 为同余式的模（modulus）。同余式满足：

反射性（reflection），即 （mod n）；

对称性（symmetry），即由 （mod n）可得 （mod n）；

传递性（transitivity），即由 （mod n）， （mod n）可得 （mod n）。

因此，可以利用同余关系将整数分类，凡同余的数属于一个类，于是异类中的数皆不同余。共得到整数的 n 个类。在每一个类中各取一个数作为代表所成的集合称为模 n 的一个完全剩余系。

取最小非负剩余为代表，则得完全剩余系 。剩余类的代表相加得一数属于另一类，这个类仅与相加两数所在的类有关，而与代表的选取无关。于是，可以定义剩余类间的加法，以 0 所在的类 O 为单位元，则剩余类的全体关于加法构成一个交换群。当然在剩余类之间可以定义乘法。但关于除法就不一定可能，例如 3·2 1·2（mod 4），2 2（mod 4），但 （mod 4）。

一个数除以4的余数只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完全剩余系。可以看出0和4，1和5，2和-2，3和11模4同余，这4组数分别属于4个剩余类。

完全剩余系常用性质：

对于n个整数，其构成模n的完系等价于其关于模n两两不同余；

若ai(1≦i≦n)构成模n的完系，k、m∊Z，(m,n)=1，则也构成模n的完系；

若ai(1≦i≦n)构成模n的完系，则。