孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想产生已久；在数学家希尔伯特在1900年国际数学家大会的著名报告中，它位列23个“希尔伯特问题”中的第8个问题，可以被描述为“存在无穷多个素数p，并且对每个p而言，有p+2这个数也是素数”。

孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。

由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。

1849年，波利尼亚克（Alphonse de Polignac）提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对 (p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。素数对 (p, p + 2)称为孪生素数。数学家们相信这个猜想是成立的。

2013年5月，张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形势，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对。这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。

素数——那些因数除了1就是他们本身的数们——就像代数的原子一样。从欧几里得——他在2000年前证明了素数有无穷多个——开始，它们就让无数数学家们为之倾倒。

因为素数从根本上和乘法相关，理解他们和加法相关的性质就变得很困难。一些数学上最古老的未解之谜就和素数和加法相关，其中之一就是孪生素数猜想——存在无限多组差为2的素数对。另一个则是哥德巴赫猜想，这个猜想提出所有的偶数都可以表示为两个素数之和。

在自然数列的起始部分存在着大量的素数，但是随着数字变大，他们变得越来越稀少。举例来说，在前10个自然数里，40%都是素数——2，3，5和7——但是在所有的10位数里，仅有4%的数是素数。 在过去的一个世纪里，数学家们掌握了素数减少的规律：在大数中，连个素数之间的间隔大约是位数的2.3倍。举例说明，在100位的数中，两个素数的平均间隔大约是230。

但是这只是平均而言。素数通常比平均预计的更加紧密的出现，或者相隔更远。具体来说，“孪生”素数通常扎堆出现，比如3和5还有11和13，他们的差仅为2。而在大数中，孪生素数似乎从没有完全消失（目前发现的最大的孪生素数是3,756,801,695,685×2666,669-1和3,756,801,695,685×2666,669+1）。

1849年，法国数学家阿尔方·波利尼亚克提出了“波利尼亚克猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)。k等于1时就是孪生素数猜想，而k等于其他自然数时就称为弱孪生素数猜想（即孪生素数猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。

从那时开始，这些猜想的内在吸引力冠予了它们数学的圣杯的称号，虽然他们可能没有实际的应用价值。虽然有很多数学家们致力于证明这一猜想，他们还是不能排除素数的间隔会一直增长最终超过一个特定上限的可能。

1921年，英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想，通常称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”（即孪生素数猜想的强化版）。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。

2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面所取得的突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。

张益唐的论文在5月14号在网络上公开，5月21日正式发表。5月28号，这个常数下降到了6000万。仅仅过了两天的5月31号，下降到了4200万。又过了三天的6月2号，则是1300万。次日，500万。6月5号，40万。

在英国数学家Tim Gowers等人发起的“Polymath”计划中，孪生素数问题成为了一个在全球数学工作者中利用网络进行合作的一个典型。人们不断的改进张益唐的证明，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。在2014年2月，张益唐的七千万已经被缩小到246。

质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能整除以其他自然数（质数），换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）

100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100内共有25个质数。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，。如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。