圆锥曲线硬解定理，又称圆锥曲线联立公式，其实是一套求解
椭圆（或双曲线）与直线相交时，
联立方程求判别式、
韦达定理与相交弦长的结果公式，常应用于解析几何。
定理内容
若曲线，（m、n≠0）与直线 相交于 两点,则:
其中 ； 。
定理说明
应用该定理于
①椭圆时：
焦点位x轴时： ，应将 代入。
焦点位于y轴时： ，应将 代入。
②双曲线时：
焦点位于x轴时： ,应将 代入,同时 不应为零,即 不为零；
焦点位于y轴时： ,应将 代入,同时 不应为零,即 不为零
求解 与 时，只须将 与 的值互换且 与 的值互换。可知 与 的值不会因此而改变。
定理补充
联立曲线方程与 是现行高考中比联立 更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项， ， 都可以直接通过韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
若曲线 与直线： 相交于 两点,则:
这里的 既可以是常数，也可以是关于 的代数式。
由这个公式我们可以推出：
若曲线 为椭圆： ,则
若曲线 为双曲线： ,则
由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，因此现提供参考解题步骤：
解：
由 ，得
设
由韦达定理，得： ①， ②；
由 ，代入①②式，化简得：
所以
注：对于椭圆： 与直线： ，联立得：
；
对于双曲线： 与直线： ，联立得：
定理证明
设曲线： (mn 0，且m，n不同时为负数)与直线： 相交于E、F两点，联立两式，得二次方程：
根据韦达定理，得:
由于 的意义仅在于正负性，且 恒成立，可令 ，则 与 同号
由
(或 )
可得
令 ，则可得CGY-EH定理: