韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

设一元二次方程 中，两根x1、x2有如下关系：

由一元二次方程求根公式知：

则有：

如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程的根。

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

定理：

设复系数一元n次方程的根为，则成立：

即：所有根之和为（n-1）次项系数与n次项系数之比的相反数，所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以（-1）n

注：该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐，是通过将左边的多项式因式分解成之后，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。

公元前 2000 年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及。公元前 480 年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法，可惜的是，并没有提出通用的求解方法。

公元 628 年，印度数学家婆罗摩笈多出版了《婆罗摩修正体系》，给出了一元二次方程 x2 + px + q = 0的一个求根公式。公元 820 年，阿拉伯数学家花拉子米出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法。他把方程的未知数叫做“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在。同样可惜，他未认识到虚根这个概念。

16 世纪，意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。与此同时，法国数学家韦达在研究二次方程时注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。虽然，由于时代的局限性，韦达当时没能从理论上证明，但他的数学思想和数学著作都大大充实了数学宝库。

历史是有趣的，虽然韦达在 16 世纪就得出了这个定理，但是要证明这个定理却需要依靠代数基本定理，而代数基本定理却在 1799 年才被高斯第一次实质性地论证。1615年，韦达生前写成的《论方程的整理与修正》一书出版。书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。