公元前 5世纪爱利亚学派哲学家芝诺用两论相反的方法提出的论证。为了维护巴门尼德关于“存在”是不动的“一”的学说，芝诺提出了否认运动的一系列论证，其中最著名的有四个，称为“四个悖论”。四个悖论的叙述均见于《亚里士多德全集》，卷Ⅱ，《物理篇》，卷Ⅵ，第239b页。

在现实生活中我们都可以清清楚楚地知道，奥运会短跑冠军是可以轻松追上在距离上领先自己的乌龟的，哪怕乌龟提前跑上几分钟。但芝诺悖论却告诉我们：门儿都没有，哪怕二者同时出发。这又是为什么呢？

既然在常识世界中不可能发生这样的“怪事”，那问题肯定出在论证上。而这一论证的过程是天衣无缝的，阿喀琉斯追不上乌龟在逻辑上是完全可以成立的。那么问题肯定出在该逻辑推理得以出发的前提上。这个前提是：时间和距离都是无限可分的。而奥妙在于：无限的部分等于无限的全体。由于把时间和距离看成是“一段一段”的，人们不是在度过时间和跑过距离，而是度过一个个时间段及跑过一个个距离段，并且由于时间和距离的无限可分性，一段时间和一段距离无所谓长短（一秒钟、五分钟也好，一公分、一百米也罢）都包含着同样的——无限的——时间段和距离段，于是乎芝诺悖论当然可以成立，阿喀琉斯当然追不上乌龟。因为二者一同起跑，总是会跑过同样的时间段，而乌龟仁兄跑的距离再短，也和阿老弟跑过同样的——无限的——距离断，而要阿喀琉斯追上乌龟则要求他在同样的时间内跑过更多的——比无限还多的——距离断，这当然不可能。

由于常识世界中不可能发生这样的事，理性在这里显得很“矫情”，常识似乎优于理性。然而大大不然。我们在常识世界形成的感性直观告诉我们过直线外一点只能做一条平行线，事实上欧式几何的公理都是在常识上“无可置疑的”，因而才被称为公理。但非欧几何告诉我们这些公理远远谈不上是唯一正确的“公理”，贝氏几何告诉我们平行线可以相交，黎氏（黎曼）几何则根本否认平行线的存在。而爱因斯坦的相对论告诉我们空间恰恰是黎曼空间！体积有大小而且可以膨胀的无限！从常识的角度看是多么难以理解啊！但事实的真相如此！而此时我们再想一想芝诺的乌龟给阿老弟的教训，芝诺的先知先觉真是令人震惊！可以说展现了理性无限宏伟的力量（多少有些夸张）！顺便说一句，宇宙是没有中心没有边界的，也就是说我们所看到的红移现象——也就是所有的星系都以我们为中心离我们远去——在宇宙尽头的人们（如果在哪儿有外星人的话）看来同样如此，这一点可以为哈勃望远镜所轻松证实。

由此看来：

1、人们在常识世界中形成的感性直观是大有问题的，不能成为支撑真理的“阿基米德点”！这很令人震惊，也是现代哲学的出发点之一。

2、在当代理解无限再也不能靠哲学玄想，只能依靠科学、依靠严密的数学模型，否则就要闹大笑话。

3、要解决芝诺的四个难题，必须具有连续、极限和无限几何等抽象概念

一个物体在通过某段路程之前，必须先通过这段路程的一半，但在跑完一半之前又必须跑完四分之一，依次类推可至无穷。所以既然这种步步紧缩是无穷的，运动就基本没有可能，否则这个物体就必须在有限的时间内通过无限个分段了。

全希腊跑得最快的阿基里斯永远追不上慢慢爬行的乌龟。因为，他要追上龟，首先就要到达龟所爬行的出发点，这时龟已经往前爬行了一段；当阿基里跑到龟的第二个出发点时，龟又爬行了一小段，阿基里又得赶上这一小段，以至无穷。阿基里只能无限地接近，但永远不能赶上它。所以，假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的。

飞着的箭在不同的时间处于不同的位置，甲时在A点，乙时在B点，在连续的时间中，箭相继地静止在一系列的点上。既然是在某一点上，怎么能运动呢？运动实际上是一系列静止的总和。

假定空间和时间由点和瞬间组成，设有三个互相平行的点列A、B、C。另C往右移动，A往左移动，其速度相对于B而言，都是每瞬间移动一个点，这样一来，A上的每点就在每瞬间离开C两个点的距离，因而我们可以对这一最小的时间区间再进行分割，上述步骤可以重复进行以至无穷。结果时间就不可能由瞬间组成。

这四个悖论的结论是错误的，是形而上学的，但悖论本身在认识史、辩证法史、逻辑史和科学史上却有重要地位。这四个悖论涉及到运动和时间、空间的关系以及极限和无限分割的问题，还接触到运动本身存在连续性与非连续性的矛盾，所以历来受到科学家和哲学家的重视。

对于两分法或阿基里斯问题，逻辑上并无困难，问题只在于我们缺乏那种凭感性印象去理解无穷收敛级数性质的想象力，这种级数对于精确说明连续性十分重要，但在我们模糊的连续性观念中却不会牵涉到它。

飞箭问题全然是一个导数概念问题，运用这一概念，问题就迎刃而解。这个疑难中的论证，也同竞走问题一样，涉及一段距离或一段时间的间隔都包含着无穷多个部分这一假定。数学分析已经证明，无穷集合的概念不是自相矛盾的，这里的困难也像前面两个困难一样，是由于不能直观地看出连续统和无穷集合的性质。