周期解理论是关于天体运动周期轨道的存在性和稳定性的理论。对于天体力学中不能直接求解的运动方程﹐除了用级数作为近似解外﹐庞加莱在十九世纪末开辟了一条新的途径──寻找运动方程的周期解。

周期解的特点是﹕经过一定的时间(周期)后﹐天体的坐标和速度都严格地回复到原来的数值。周期解理论是天体力学中最活跃的研究领域之一。对于维数不高的动力学体系(如平面圆型限制性三体问题)来说﹐周期解是决定相空间(坐标和速度分量组成的空间)的“枢纽”轨道。某些简单的周期解可以作为中间轨道﹐并以此为基础讨论摄动﹔人造天体出现以后﹐需要设计能够周期性地接近地球和其他天体的轨道﹐这就给周期解的研究工作带来新动力。研究周期解现有三种基本方法。

应用拓扑学方法证明某些类型周期解的存在性。这种方法最初是庞加莱提出的﹐后由伯克霍夫﹑阿尔诺德等人加以发展和充实﹐成为天体力学定性理论中的一个重要内容。对于大周期的解的存在性问题﹐还只能用定性方法进行研究。此外﹐在给定周期解领域内的周期解存在性问题﹐各种周期解的稳定性问题﹐都是用定性方法来研究的。

最初也由庞加莱提出。他首先研究含有小参数μ的运动方程。当μ =0时﹐方程有周期解。然后根据周期性条件找出μ≠0时的周期解。这样的周期解可用μ的幂级数表示﹐并用逐次积分求出其系数。对于三体问题﹐他提出了三类周期解﹐这成为周期解的理论基础。这些解称为庞加莱周期解。拉格朗日特解也是一种特殊的周期解。近二十年来﹐对拉格朗日特解附近的周期解存在性和稳定性研究得较多(见脱罗央群小行星的运动)。希尔在研究月球运动时所采用的中间轨道﹐也是周期轨道﹐称为希尔周期轨道。二十世纪以来﹐在研究希尔周期轨道的收敛范围以及用新方法建立这种轨道方面﹐取得了很多成果。例如美国康利等人用正规化变换求平动点附近的周期解。

一是在周期上有限制﹐对周期很大的解还只能用定性方法研究﹔一是推导过程太繁﹐无法推导出一般项和高阶项。近年来﹐分析方法常用数值方法来补充﹐并且藉助于电子计算机进行公式推导。

自五十年代电子计算机广泛应用于天体力学研究之后﹐出现了用数值方法研究周期解的高潮﹐建立了大量各种类型的周期轨道。其中绝大部分是针对平面(圆型或椭圆型)限制性三体问题的﹐只有很少是针对空间限制性问题或一般三体问题的。一般方法是寻找某一周期解族的具体周期轨道。具体办法是先选取周期解的近似初值﹐然后用泰勒级数的斯特芬森方法计算出最后的周期轨道。这样所得的精度比差分法要高。算得最多的仍然是平动点附近的周期解。六十年代以后﹐出现了很多用数值方法研究周期轨道稳定性的研究成果﹐主要是算出标志周期轨道的某些参数的具体值﹐从而判定周期解的稳定性和稳定范围。

数值方法的缺点：一方面是在周期上有限制﹐一般只能研究周期较短的解。另外﹐利用数值方法进行研究只能得到某些具体周期轨道﹐很难看出它们的一般特徵(见天体力学数值方法)。因此﹐周期解理论还需要用几种方法配合来研究﹐才有可能得到有效的结果。但还没有形成较完整的具体研究方法。

关于时滞微分方程周期解的研究，除了局部Hopf分支的存在性有较系统的：工作外，对比较--般的常微分方程而言，存在许多实质性困难。1974年，Kaplan与Yorke发表了《产生时滞微分方程周期解的常微分方程》一文，他们对一类具有1个或2个时滞的微分差分方程，利用具有某种对称性的常微分方程的周期解来产生时滞微分方程的周期解。此后，一些中国数学家和欧美敷学家继续发展并推广了Kaplan-Yorke的技巧，对较为一般的包含1个或2个时滞的系统，获得周期解存在性的许多新结果。但是对多于2个时滞的系统，Kaplan-Yorke的技术是否仍然有效?这是近20年来未解决的问题。在Hamilton系统的周期解理论与时滞微分方程的周期解理论两个不同领域之间建立了基本的联系。从而有可能应用近20年来变分方法在非线性Hamilton系统的周期解研究上所获得的突破性新成果，来研究时滞微分方程的周期解。 Kaplan-Yorke型时滞微分方程的周期解存在性理论。为此，需要用三分之一的篇幅叙述Hamilton系统的周期解存在理论，介绍临界点理论在Hamilton系统周期解研究中的应用。