可分扩张(separable extension)一种重要的域扩张。其特征为p的域F的任意扩张K/F。

可分扩张是一种重要的域扩张。其特征为p的域F的任意扩张K/F，Ω是K的代数闭包，若K与

F={α∈Ω|α∈F}

在F上是线性分离的，则称K/F是可分扩张。当F是完备域时，F上任何扩张都是可分扩张。当K/F是代数扩张时，若α∈K在F上的最小多项式是可分多项式，则称α是(F上的)可分代数元(简称F上可分元)。若K中每个元均为F上可分元，则称K是F上可分扩张。若K/F有一个超越基S，使得K是可分的，则称S是可分超越基.若K/F有这样一个可分超越基，则称此扩张K/F是可分生成的。完备域上的有限生成扩张均为可分生成扩张。可分扩张具有传递性。当K/F是有限生成，而且是可分扩张时，K/F是可分生成的。反之，可分生成的扩张必然是可分扩张。

可交换的除环叫做域，它是代数学的基本概念之一。

域的概念在19世纪代数学的发展中逐步形成并明确起来。在伽罗瓦的著作中就包含了域的概念，他的域就是由方程的系数生成的域，他的扩域是经添加方程的一个根作成的。在拉格朗日关于群论的论文和高斯关于数论的论文中也有了域的思想。域的概念是在克罗内克和戴德金关于代数数的论文中，从不同角度引入的。戴德金把他所引入的域的概念最初称为“有理区域”，他关于域的理论发表在对狄利克雷《数论讲义》一书所作的评注和附录中。他在那里从本质上补充并扩展了数论、理想论和有限域论。“域”这个术语首次出现在该书1871年的版本中。在19世纪，已经知道的具体的域有：有理数域、实数域、复数域、代数数域和有理函数域。1908年，德国数学家亨泽尔又引进了一类p-进域，并进行了系统研究。

域的抽象理论开始于德国数学家韦伯的工作。1893年他曾给伽罗瓦理论以抽象的阐述，其中引进域的概念作为群的派生，并强调群和域是代数的两个主要概念。1903年美国数学家迪克森和亨廷顿建立了一个独立的域的公理体系。

德国数学家施泰尼茨在韦伯的工作的影响下，对抽象域进行了综合研究。按照他的观点，每一个域都可以从它的素域(所有子域的公共元素所构成的子域)出发，经过适当的添加而得到。由此引进了代数扩张和域的特征的概念。他还研究了伽罗瓦方程理论在域中的有效性问题。他的研究成果都包含在他写于1910年的论文《域的代数理论》中。

19世纪末到20世纪初，美国数学家得到有限域的一些结果，如有限抽象域都与某一个伽罗瓦域同构(穆尔，1893);任何有限域必须是交换的(韦德伯恩、迪克森，1905)等等。

20世纪以来，对抽象域的研究又有新的进展，中国数学家曾炯之做出了一定贡献。

域的扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：

f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)

的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且：

g(α1，α2，…，αn)≠0.

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

代数闭包是实线性空间中的集合的代数意义下的闭包。设A为实线性空间X中的集合。A的代数闭包是指这样的点b∈X的全体：存在h∈X，对于任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代数闭包常记为acl(A)。如果A=acl(A)，那么A称为代数闭集。它也是X在以代数开集为开集的拓扑意义下的闭集，即代数闭集的余集必定是代数开集；反之亦然.代数闭包的概念在叙述凸集分离定理时也起重要作用。

有的文献定义代数闭包时，要求对于任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.这时代数闭集就不再是代数开集的余集。但当A是多于一点的凸集时，由这两种定义得到的代数闭包是相同的。

一个域的最大代数扩域叫做代数闭包。若域F的代数扩域Ω为代数闭域，则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的，并且在F同构意义下惟一。这个基本定理来自施泰尼茨(Steinitz，E.)。设K是域F的扩域，在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包，它是F在K内的最大代数扩域。特别地，若F=A，则称F在K内是代数闭的。