非空集合A到自身的一个映射f：A→A称为集合A的变换。作为映射，两个变换可以相乘。一个集合的若干变换在这种乘法下组成的群称为变换群。

集合到自身的映射称为变换。作为映射，两个变换可以相乘。一个集合的若干一一变换在这种乘法下组成的群称为变换群。

[transformation group]

人们对群的认识始于变换群。

伽罗瓦(E.Galois) 关于多项式方程的根式解的存在性判别法则就是通过研究域的自同构群（成上的变换群）以及根的集合上的变换群而得到的。因此人们通常把伽罗瓦看成群论的创始人。

凯莱(A.Cay le y) 提出了抽象群的概念，而后才有了对抽象群的研究。一个基本的事实是，任何一个群都同构于一个变换群。实际上，若G 为群而，则右乘变换，它把 映成乘积 ，就是集合G 上的一个变换。当 g 取遍 G 中所有的元素时，全体右乘变换 在变换的乘法下成为一个。它是集合G 上的变换群,而映射是群 G 到变换群 的同构。