反算（Inversion ）是指根据直线的起点和终点的坐标，计算直线的水平距离和坐标方位角的过程。

坐标反算是指根据直线的起点和终点的坐标，计算直线的水平距离和坐标方位角的过程。坐标反算一般主要应用于测绘工程、建设工程之中，具体在建筑设计，工程测量，测绘制图等领域。总的来说坐标计算分为坐标正算和坐标反算两种，这两种在实际中是较常见的。

如图1所示，已知一条直线的起点和终点坐标分别为A点坐标（XA, YA）,B点坐标（XB, YB）,A点到B点距离L,A点到B点方位角aAB，通过坐标反算来计算直线AB的水平距离S ab和坐标方位角α ab。

坐标正算公式： XB=XA+LcosaAB

YB=YA+LsinaAB

坐标反算公式：L^2= (XB-XA)^2+（YB-YA）^2

由于反三角函数计算的结果有多值性

所以在计算坐标方位角α ab之前，要先计算象限角R ab。

①tan R ab=|△y ab|╱|△x ab|=|y b-y a|╱|x b-x a|；

②R ab=arctan|y b-y a|╱|x b-x a|；

③L=|△y ab|╱sinα ab=|△x ab|╱cosα ab。Sab=△y ab。L是A、B两点间距离，Sab是水平距离。

④根据“②”中所求的R ab，求坐标方位角α ab，

⑴若坐标方位角为第一象限角，则：R ab=α ab；

⑵若坐标方位角为第二象限角，则：α ab=180°-R ab；

⑶若坐标方位角为第三象限角，则：α ab=180°+R ab；

⑷若坐标方位角为第四象限角，则：α ab=360°-R ab。

坐标方位角：直线的方向是用方位角来表示的，其中以坐标北方向为基准方向，顺时针旋转到直线的水平角度，称为该直线的坐标方位角。

象限角划分：第一象限角：0°~90°

第二象限角：90°~180°

第三象限角：180°~270°

第四象限角：270°~360°

另注意：此象限角的划分与数学中的象限角不同，应注意！

如果找到两个基准点A(N3000,E4500,Z100), B(N2900,E5500,Z120)，则可以根据基准点坐标值反推坐标系，找到N,E方向。

首先确定N,E方向：

从E坐标可以发现，B点E坐标大于A点，所以B点应在A点的东面。再看B的N坐标小于A点，故B点应在A点南面。即B点在A点东南面。

求出直线AB与E坐标的夹角：

a=atg((Nb-Na)/(Eb-Ea))

-90degree<=a<=90degree

若a>0，则直线从A到B成右上方向走向。若a<0，则直线从A向B成左下方向走向。若a=0，则AB平行于E轴线。若a=+90或-90度，则直线垂直于E轴线。由此可以确定现场的NE坐标系。

纵观国内外的反算方法，主要可分为五类，即：图表法和回归公式法、迭代法、数据库搜索法遗传算法和人工神经网络法国外各类反算方法的主要软件如表1所示。

根据常见的路面结构，在较大范围内选取不同模量Ej和厚度hj的结构组合，通过弹性层状体系理论计算各结构组合的理论弯沉盆W，并运用多元回归分析方法，建立的统计关系式，或者编绘成计算图表由此，将实测弯沉盆数据和厚度参数代入统计公式或图表，从而确定路面各结构层的模量这类方法具有快速和方便的优点，适合于野外现场评定其主要缺点包括：

(1)由于弹性层状体系理论的复杂性，W与Ej之间并不存在简单的统计相关关系，因此，这类方法的反算精度差;

(2)通用性差，当模量、厚度结构层数等参数超出回归公式或计算图表的计算范围时，将无法处理。

首先假设一组结构层模量(初始值)，采用力学分析方法计算理论弯沉盆，并与FWD实测弯沉盆进行比较，根据弯沉差异确定模量修正值，从而获得一组新的模量然后，以此作为下轮迭代的初始值，不断重复这一迭代过程，直至满足预先给定的收敛精度或迭代次数的要求为止实际上，模式识别法也是根据这种迭代原理进行反算魄这类方法将模量反算视为非线性规划问题，从而采用数学规划法中的不求导数的直接搜索或者近似求导的梯度搜索等启发式最优化算法进行计算其优点是，在一般情况下，反算结果精度高，便于引入各种不同的力学分析模型，具有良好的可扩展性主要缺点包括:

(1)由于这类方法需要大量的迭代计算.其计算速度相对较慢;

(2)根据最优化方法的理论，对于非线性优化问题，数学规划法无法避免初始值和局部收敛的问题，使得模量反算存在受初始值迭代方法和收敛标准影响大和局部极小的缺点;

(3)在许多算法中，为了保证收敛，需要给定较严格的模量取值范围，虽然在一定程度上降低了结果发散的可能性，但并不能从根本上解决初始值和局部收敛的问题，同时，限制模量的取值也影响了算法的适用范围;

( 4)路面结构的土基模量随弯沉的变化较敏感，而结构层模量随弯沉变化不敏感，因此，当选取的收敛标准和迭代次数不合适时，往往反算的土基模量结果稳定，而结构层的模量误差大

预先对需要分析的路面结构，选取大量的模量论弯沉盆，并将理论计算结果以数据库的形式保存，形成理论弯沉盆的数据库。然后，采用直接搜索法和插值技术，寻找满足弯沉盆拟合精度要求的模量组念其中以MODULUS反算程序最为著名，这种方法的主要优点是计算速度快，收敛稳定，适合于路网普查，这也是美国SHRP计划通过比较、筛选决定选用MODULUS的主要原因这种方法的主要缺点包括:

(1)理论弯沉盆数据库需要耗费大量的存储空间，并且，对于数据库中没有的路面结构形式，需要重新计算，形成新的弯沉盆数据库，耗时较长;

( 2)虽然反算总能收敛，但由于采用了插值方法，反算结果可能误差很大，其反算方法采用最优化方法中的直接搜索法，无法从根本上避免初始值和局部极小问题;

(3)需要选取较为严格的模量取值范围，算法通用性较差。

预先在给定的模量范围内，随机产生一定数量的模量组合，将各组合转换成不同的数字串(染色体)，形成原始种群。通过力学分析计算各组合的理论弯沉盆，以理论弯沉盆和FW D实测弯沉盆之间的误差作为适度函数，对各染色体的适度进行评仇然后，按照一定的概率对种群的染色体进行选择、交叉和变异等遗传计算，形成新的种群。以新的种群作为原始种群，重复上述迭代过程，直至满足给定的收敛标准或迭代次数为止，并从最后一代种群中选取弯沉拟合精度最好的染色体作为反算的模量结果遗传算法是一种模拟自然选择法则的最优化算法，其实质是一种迭代自适应启发式概率性搜索算法，可解决不同的非线性问题的鲁棒性和全局最优性。

因此，具有精度高和全局收敛的优点，并很好地解决了初始值的问题其主要缺点包括：

(1)由于遗传算法是对自然选择过程的模拟，只有经过大量的遗传计算，才能获得稳定的结果，因此，其计算速度很慢，无法满足工程应用中大规模反算的要求;

(2)种群染色体个数的选取缺乏理论指导，规模太小容易导致早熟，无法获得稳定的结果，规模太大则大幅降低计算速度;

(3)需要合理地预测模量的取值范围，确定合适的染色体长度，超出取值范围的误差将很大

利用人工神经网络的高度非线性映射能力，预先通过力学理论计算，获得大量的模量厚度和荷载等参数组合的理论弯沉盆结果，作为神经网络的训练样本。然后，选取合适的网络模型和学习算法，以弯沉厚度与荷载等参数作为输入，模量作为输出，训练神经网络。经过反复训练，训练好的神经网络即可作为路面模量反算的工具。由于采用训练好的神经网络进行模量反算时，只需数次简单的整合与传递函数的运算，因此，神经网络法是反算速度最快的方法，具有实时处理的优点。其主要缺点包括:

(1)由于神经网络是一种近似计算方法，反算结果的精度取决于网络结构和规模训练样本的容量和代表性及学习算法的收敛性等因素，因此，一般误差较大;

(2)由于FW D存在各种系统和人为误差，以及路面结构力学分析模型的简化，实测弯沉盆不可能无限逼近理论弯沉盆，二者之间必然存在误差，为了消除该种误差对反算结果的影响。必须在训练样木中加入噪音数据，以获得神经网络的鲁棒性，否则，采用训练好的网络进行反算时，对理论弯沉盆可以获得高精度的结果，而对实测弯沉盆，必然会得到不合理的结果，因此，对于人工神经网络法，噪音处理至关重要，然而，对于噪音数据的选取，主要依靠经验，缺乏理论指导;

(3)普遍采用BP网络进行反算，而BP网络的学习算法存在初始值和局部极小问题，同时，其隐单元数的确定也缺乏理论指导

从五类反算方法的优缺点可看出，未来仍需对模量反算方法开展深入研究，在满足大规模反算要求的基础上，重点解决以下三个关键问题。

非线性最优化方法一般都需要从初始值开始迭代，初始值不管是给定的还是随机产生的，算法本身的局部收敛性决定了反算结果的局部收敛性。同时，由于弯沉误差等值线具有狭长和平坦分布的特点，收敛标准的允许误差对反算结果的精度有很大的影响，过于苛刻势必造成迭代振荡而降低计算速度，过于宽松迭代会提前终止而影响结果的精度。因此，寻找从数学上严格证明的受初始值影响小且具有大范围收敛的方法是未来研究方向之一，同伦方法为此提供了新途径。

一般情况下，不同的收敛标准获得的反算结果是不相同魄由于模量反算属于非线性最优化问题，在某一收敛标准下可能会存在多个解的情况(一般较少出现)因此，为了解决唯一性的问题，一方面需要通过试验验证，选取合理的收敛标准;另一方面可通过选取合理的位移传感器布置方案，减少或避免多解的情况同时，从非线性最优化理论方面开展多解的研究，以合理取舍反算结果

由于反算结果属于二级指标，所以应加强反算结果与试验结果的验证研究，比较分析反算结果的合理性，并用于路面评价和设计，同时，模量反算的正分析大多采用弹性层状体系理论，由于路面结构层材料的非线性性质和FWD动载的特点，需进一步开展非线性和动载等动参数的反算研究

另外，模量反算时，路面结构层厚度一般按设计值选取，或者根据有限的钻孔检测结果确定实际上.由于施工变异性的影响，以及行车荷载和自然环境等因素的作用，实际厚度与反算取值之间存在着差异，而这种差异对反算结果有着较大的影响。因此，为了减小厚度取值的误差，未来应加强在FWD检测的同时，配合采用路面雷达等无损检测技术测定路面结构层的厚度。