设在平面内给定一点O和常数k（k不等于零），对于平面内任意一点A，确定A′，使A′为直线OA上一点，并且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k，我们称这种变换是以O为反演中心，以k为反演幂的反演变换，简称反演。称A′为A关于O（r）的互为反演点。

正幂反演的性质：

1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆正交。与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。

2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。（直线→直线）

3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆，而且这个圆周在点O的切线平行于该直线。（直线→圆）

4、反演变换φ把任一个通过反演中心O的圆周变成一个不通过反演中心O的一条直线，而且这条直线平行于该圆的过点O的切线。（圆→直线）

注：性质3和4互为逆命题。

5、反演变换φ把任一个不通过反演中心O的圆周变成不能过反演中心O的圆周。（圆→圆）

由于可以把直线看成圆周，上述性质2—5可经综合为

反演变换把（广义）圆周变成（广义）圆周。这个定理常称为反演变换的保圆性。

6、任何两条直线在它们的交点A的夹角，等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

7、两个相交圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

8、一条直线和一个圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

上述性质6—8可经综合为

两相交（广义）圆周在交点A的夹角，等于它们的反演象（广义）圆周在相应点A′的夹角，但方向相反。定理二称为反演变换的反向保角性。

因反演变换具有保圆性和反向保角性而成为证题和作图中的重要工具。由定理一、二易得：

9、正交两圆其反象仍正交。

10、相切两圆的反象仍相切，若切点恰是反演中心，则其反象为两平行线。

负幂变换可以转化为一次正幂变换和一次关于反演极反射的积来代替。

给出反演极O和反演幂k>0，作点A的反演点A′。

令k=r^2，作出反演基圆⊙O（r），

1）若点A在⊙O（r）外，则过点A作圆的切线(两条),两个切点相连与OA连线交点就是点A′。

2）若点A在⊙O（r）内，则把上述过程逆过来：连结OA，过点A作直线垂直于OA，直线与⊙O（r）的交点处的切线的交点就是点A′。

3）若点A在⊙O（r）上，反演点A′就是点A自身。

1.除反演中心外，平面上的每一个点都只有唯一的反演点，且这种关系是对称的，位于反演圆上的点，保持在原处，位于反演圆外部的点，变为圆内部的点，位于反演圆内部的点，变为圆外部的点。 举个最简单的例子，区间(0,1]以1为反演半径，那么反演后的区间就是[1,+∞)，这就是一维反演，而圆的反演是二维反演。

2.任意一条不过反演中心的直线，它的反形是经过反演中心的圆，反之亦然，特别地，过反演中心相交的圆，变为不过反演中心的相交直线。

1.首先约定，反演圆的圆心O是反演中心。规定反演半径就是反演圆的半径r（在解题和具体的应用上，可以用不同的反演半径，不必非得是反演圆的半径）。再约定，如果A经过反演之后变成A'，那么，O、A、A'共线，且OA·OA'=r^2。 具体的作图过程，见下面的图1。注意，要把反演点视为圆和直线的交点，而不是圆和线段的交点，因为反演点有可能跑到线段的延长线上，此时几何画板有可能忽略这些点。

2.不同的图形会有不同的反演成像。同一个图形，如果到反演中心的距离不同，也会有不同的反演成像。下面，就用几何画板演示一个几何图形的反演成像。在几何图形上取任意点P，作出它的反演点P'，选中P、P'，构造轨迹，这时候看到P'的轨迹就是反演成像。这时候，改变原图与O的距离，看看成像会有什么变化。

3.圆在不同情形下的反演成像。

当圆不经过反演中心，它的反演图形仍旧是个圆：

当圆与反演圆相交，交点是保持不变的；

当圆在反演圆的外面的时候，反演成像位于圆的内部；反过来，当圆位于反演圆的内部，反演成像位于圆的外部。

当圆经过反演中心，它的反演图形是一条直线。

作点的反演变换，是一个繁琐的过程，尤其是要作多个图形的反演变换，只能一步一步地作出各个图形的反演图形。怎么快速作多个图形的反演变换呢？只能用自定义工具了。我们先把“点的反演变换”作成一个工具，可以快速地作出曲线上自由点的反演点，然后构造轨迹，就画出了曲线的反演图形。

具体的步骤如下：

打开几何画板，新建文件，在画布上绘制四个点A、B、C、D；

连结线段AB，以C为圆心、AB为半径作圆（这就是反演圆，AB为反演半径）；

作出D的反演点D'。

用反演变换的方法来构造Steiner圆链。这里用一个简单的情形来演示一下：

先作一个圆及其内接正六边形，连结圆心和正六边形的顶点，把正六边形分成六个小三角形；

作出这六个小三角形的内切圆，可以知道这六个小圆是依次相切的；

隐藏各直线型和大圆，但保留大圆圆心；

作大圆的两个同心圆，分别与六个小圆相外切、相内切；

对这整个图形作反演变换，反演变换的结果是，同心圆变成偏心圆。