卡西尼卵形线_乔凡尼卡西尼提出的作法

卡西尼卵形线

乔凡尼卡西尼提出的作法

发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣。像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线。卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数。

定义

卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有那些点组成的图形。

图像

设两定点为 ,动点满足（a＞0为定值）。

当时，图象分为两支，随着a的减小而分别向收缩。

当时的分支，成8形自相交叉，称为双纽线。

当时，图象是一条光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰。

当时，与前种情况一样，但曲线中部变平。

当时，曲线中部凸起。卡西尼卵形线图象由此组成。

直角坐标方程

取AB为x轴，中点为原点，则

整理得：

当a=c时退化为双纽线方程。

卵形线的形状由的值决定。若，轨迹是一个封闭的圈。若，轨迹是两个封闭的圈。若，轨迹为伯努利双纽线。

性质

对称性

由于方程中，关于的项都是带有平方的，所以其显然有中心对称性和轴对称性，其对称轴是直线两条，其对称中心是原点。

极值

当时，图像有四个极值点，分别是，其中，前两个是极大值点，后两个是极小值点。此结论可以通过求极值的判别式法来验证。

当时，图像有六个极值点，分别是,,,,,和.其中，第二、三、四个是极大值点，第一、五、六个是极小值点。此结论可以通过求极值的判别式法来验证。

当时，图像有两个极值点，分别是，其中，第一个是极大值点，第二个是极小值点。

极值点几何性质

当时，对于其任何一个极值点，都有

参考资料

最新修订时间：2024-08-17 21:23

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概述

定义

图像

直角坐标方程

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