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单位圆

数学模型

单位圆，数学模型，指的是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆。

定义

如果单位圆上的点 (x, y)位于第一象限，那么x与y是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据勾股定理，x与y满足方程：

由于对于所有的x来说x2 = (−x)2，并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

在三角学中，单位圆通常是指欧几里德平面直角坐标系中圆心为（0,0）、半径为 1 的圆。在教科书中，它常常出现在三角函数入门的那几页，并且与称为三角函数线的几条线段在一起，用于定义或解释实数的三角函数值。一般地，在复平面内，n 个 n 次的单位根所对应的点正。

数学性质

1. 在复平面（即高斯平面）上，单位圆诱导了著名的欧拉公式和棣莫佛定理。换句话说，单位圆上的点表示模长为1的复数，它诱导了复数的三角形式和指数形式之间的关系。

2. 单位圆上有自然的群结构：即弧度的加法群结构。换句话说，就是模长为1的复数集合上有一个自然的乘法结构。

3. 单位圆诱导了几何反演变换，这和复变函数论的诸多结论密切相关。

4. 单位圆是最简单的非单连通的拓扑空间之一，常记为S^1. 它的基本群同构于整数群。

5. 单位圆同胚于射影直线，是拓扑学中最基本的研究对象。这个同胚映射来自于从北极点作的球极投影。

6. 单位圆盘到自身的连续映射一定存在不动点。这就是著名的布威劳尔不动点定理。

7. 单位圆的群结构诱导了著名的指数映射，和微分几何中著名的陈类（也称陈示性类，因陈省身得名）有着深远的联系。

应用

1. 单位圆广泛应用于三角函数，对正弦函数，余弦函数，正切函数等的定义，函数图像的绘制有重要作用

3. 应用于检测心率异常与否的一种图像标准。

参考资料

最新修订时间：2025-03-13 09:08

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概述

定义

数学性质

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