在
微分几何里，人们希望推广这个概念到一般
微分流形上。首先
求导（或求微）的对象从函数推广到
向量场（就是
向量丛的
截面，如
切向量场和
余切向量场），
定义域则移到了整个流形上（不再是平坦的空间）， 求导的方向可以是任何切向量的方向。 这样得到的
导数就称为
协变导数，其微分称为协变微分。
从局部上看，这样的导数和我们以前的
偏导数相比多出了一堆
修正值。这些修正值就是所谓的
联络---这是近代微分几何最重要的概念。 粗略的讲，联络就是反映流形在外部大空间中看，所处的位置和弯曲程度。 但是，值得注意的是，我们定义的
协变导数和协变微分实际上是内蕴的（就是说只和流形有关，与它的外部无关）。
如果是
黎曼流形（就是有度量的流形），则可以唯一定义一种联络，称为
列维-奇维塔联络，从而有了一种协变微分定义。