半纯函数是一种复变函数，即自变量和因变量都取值复数， 也称亚纯函数。半纯函数是在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。

半纯函数在定义域中的某些点上没有定义，除这些点外全纯，我们称这些点为极点。 函数在这些极点附近的幂级数展开可写为(以单变量为例)罗朗展开式：f(z)=cm/（z-a)m+...+c2/(z-a)2+c1/(z-a)+ c0+a1(z-a)+a2(z-a)2+......, 这里ci和aj都是常系数， z=a是极点。

全纯函数是最简单的半纯函数，也称解析函数， 就是说它没有任何极点。 根据刘维尔定理，在紧致流形上， 全纯函数只能是常值函数。

任何有理函数（即通过多项式加减乘除得到的函数）都是半纯函数。

复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。

每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。

直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。

从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。这和有理数Q和整数Z的关系类似。

在数学中，黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一，而且与众多的现代数学分支有紧密联 系，如多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论、 自守函数等。

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。

黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数(holomorphic function)。黎曼曲面被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。

每个黎曼曲面都是二维实解析流形(也就是曲面)，但它有更多的结构(特别是一个复结构)，因为多值函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯圈，克莱因瓶和投影平面没有。

在一个黎曼曲面上，每个点都拥有一个同构于复平面上的一个开子集的开邻域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数。

当D为整个黎曼球时，亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域，因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数（这是所谓的GAGA原理的一个特例）。

比如有理函数就是在扩充复平面上的亚纯函数，它是两个多项式的商而Q（z）的零点是R（z）的极点，即R（z）有有限多个极点，∞点是R（z）的极点或可去奇点。复平面上不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数。

例如ctg( z)就是超越亚纯函数，它以kπ为全部极点，超越亚纯函数一定有无限多个极点。有理函数可以分为部分分式，即其中{ak}是R( z )的全部极点 ，Pk( u )是多项式 ， 当∞点是m阶极点时，P0(z)是m阶多项式。

所有的有理函数如都是在整个复平面上的亚纯函数。

函数和以及Γ函数和黎曼ζ函数都是在整个复平面上的亚纯函数。

函数在除去原点：0的整个复平面上有定义。但是，0不是这个函数的一个极点，而是一个本性奇点。因此，这个函数只是在C上的亚纯函数，而不是在整个复平面上的亚纯函数。

函数f(z)=ln z不是在整个复平面上的亚纯函数，因为它只在复平面上的一个孤立点集上有定义。

由于亚纯函数的极点是孤立点，它们至多有可数多个。极点的个数可以有无穷多个，例如函数：

使用解析拓延来消去可去奇点后，亚纯函数可以进行加减法和乘法的运算。当g(z)在D的连通部分上不恒为零时，还可以定义f/g。因此，当D连通时，所有的亚纯函数构成一个域，为复数域的一个域扩张。

复平面上的超越亚纯函数也有一个部分分式分解定理 ， f(z)是以{ak}为极点集的超越亚纯函数，设f(z)在极点ak处罗朗展式的主部为，Pk(u)是一个多项式，于是f(z)可表作：中g(z)是整函数，hk(z)是适当选取的多项式。 对于超越亚纯函数有一个类似毕卡定理的结果 ：f(z)是超越亚纯函数，则最多除去两个例外值外 ，对所有其他值W， f(z)－W一定有无穷多个零点。

全纯函数即解析函数。解析函数是能局部展成幂级数的函数，它是复变函数论研究的主要对象。解析函数类包括了数学及其在自然科学和技术应用中所遇到的大多数函数，这类函数关于算术、代数和分析的各种基本运算是封闭的，解析函数在其自然存在的域中代表唯一的一个函数，因此，对解析函数的研究具有特殊的重要性。

对解析函数的系统研究开始于18世纪。欧拉在这方面做出许多贡献。拉格朗日最早希望建立系统的解析函数理论，他曾试图利用幂级数的工具来发展这种理论，但未获成功。

法国数学家柯西以他自己的工作被公认为是解析函数理论的奠基者。1814年他定义正则函数为导数存在且连续，他批判了过去许多错误的结果，创立了若干法则，以保证级数运算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西积分定理，随后又建立了柯西积分公式。柯西利用这些工具得到了正则函数在它的定义域内处处可表为收敛的幂级数的结果，其逆命题亦真。所以解析和正则是等价的。后来黎曼对柯西的工作做出了重要的发展。1900年，法国数学家古尔萨改善了正则函数的定义，只要求函数在定义域中处处有导数。

外尔斯特拉斯以幂级数为出发点开展对解析函数的研究。他定义正则函数为可以展开为幂级数的函数，创立了解析开拓理论，并利用解析开拓定义完全解析函数。柯西的方法限于研究完全解析函数的所谓单值分支，必须通过解析开拓才能和外尔斯特拉斯的理论统一起来。