“判别式法”是我们解题时常用的方法，对初高中同学来说，在解题中常常用到，掌握它很有必要，下面举例说明它的作用。

可以判断方程有没有根以及有几个根，b^2-4ac<0无根，b^2-4ac=0有两个相等根即一个根，b^2-4ac>0有两个不相等根

可用判别式法简化为关于x的二次方程。

例如y=50x/(1+(x的平方)) ，附加限制条件(x>0) ，求y的最大值 。

yx^2-50x+y=0 由于两根之积为1，说明两根同号，那就必然是同正，所以两根之和为正，也就是50/y>0。

定义域非R有两种情况

第一种：被抠掉了一点或两点（不会考多）只需检验即可。（ 至于具体如何检验： 应当理解，判别式法的原理在于求x有解情况下y的范围，这解可能为两个，也可以为一个。也就是说如果抠掉的那个点在某y值下是一个解，只要此时判别式不等于零也就是还有另外的解，而那个解在定义域内，则该y 值就可以取到。理解到这里就行了。）

第二种也就是诸如（x>0) 。这种一般有两种考虑方法。

第一种就是从正面考虑，也就是在判别式大于等于零下，分为“一个解大于零另一个解小于等于零”和“两解均大于零（包含两解相等）”两种可能具体方法。须用韦达定理求解。

还可以从反面考虑，也就是在判别式大于等于零下排除两解都小于等于零的情况

还有种可能就是定义域为x>1。

此情况，只需参照上面方法，将 X1*X2 转化为(X1-1)(X2-1)这种形式即可。若求和亦然。

应当提的是，当遇到第二种情况（即并非抠点的情况）时，适用判别式法的题就比较少了，那样算会比较麻烦。

求函数的值域

例1. 求函数的值域。

解：将原函数变形得，把此方程看作关于x的一元二次方程，该方程一定有解，利用方程有解的条件求得y的取值范围，即为原函数的值域。

当时，（说明函数值可以为0）。

当时，令，解得

故原函数的值域为

求最值

例2. 已知，且，试求实数a、b为何值时，ab取得最大值。

解：构造关于a的二次方程，应用“判别式法”。设 （1）

由已知得 （2）

由（1）（2）消去，对a整理得 （3）

对于（3），由，解得或。由，舍去，得。

把代入（3）（注意此时），得，即从而。

故当时，取得最大值为18。

证明不等式

例3. 已知。证明：恒成立。

解：不等式变形为

将不等式左边看作关于y的二次函数，令。由，从而有：

，即。

对于二次函数，图象开口向上，且在x轴上方，所以恒成立，即恒成立。

求参数的取值范围

例4. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。已知函数，对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

解：对任意实数b，恒有两个相异的不动点对任意实数恒有两个不等实根对任意实数b，恒有两个不等实根对任意实数恒成立。

可以将看作关于b的二次函数，则对任意实数恒成立

故的取值范围是