切线方程_研究切线以及切线的斜率方程

切线方程

研究切线以及切线的斜率方程

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。

定义

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程。

方程的证明

向量法

设圆上一点A为,则该点与圆心O的向量

因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.

设直线上任意点B为(x,y)

则对于直线方向上的向量

有向量AB与OA的点积

故有

分析-解析法

设圆上一点A为,则有：

对隐函数求导，则有：

（隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同）

或直接（k1为与切线垂直的半径斜率。）

得（以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况）

所以切线方程可写为：

将点,可求出

所以:

当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。

此类切点有2个，不妨设为

将2点带入上式，亦成立。

故得证。

常见切线方程的证明

圆

若点M在圆上,

则过点M的切线方程为

或表述为：

若点M在圆上，

则过点M的切线方程为

若已知点M在圆外，

则切点AB的直线方程也为

椭圆

若椭圆的方程为,点P在椭圆上，则过点P椭圆的切线方程为

证明：

椭圆为,切点为,则...(1)

对椭圆求导得, 即切线斜率,

故切线方程是,将(1)代入并化简得切线方程为。

双曲线

若双曲线的方程为,点P在双曲线上，

则过点P双曲线的切线方程为

此命题的证明方法与椭圆的类似。

抛物线

若抛物线的方程为, 点P在抛物线上，则过点P的抛物线的切线方程为

此命题的证明方法亦与椭圆的类似，可设切线方程为

联立切线与抛物线,则

,整理得

因为相切，所以△=0

则

可求得,代回

曲线的切线方程也可以用导数求解。更为简便的计算方法：

设切线方程为，联立切线与抛物线

△=0，，解得

切线方程：,化简得

微积分方法：

在M(a,b)点斜率为求导：

2yy'=2p

代入点（a，b）则

所以切线为：

参考资料

最新修订时间：2023-12-21 18:14

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概述

定义

方程的证明

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