与
多边形各边都
相切的
圆叫做
多边形的内切圆。特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做
三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条
角平分线的交点。
定义
在
数学中，若一个
二维平面上的
多边形的每条边都能与其内部的一个
圆形相切，该圆就是多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的
内心。
一个多边形至多有一个内切圆，也就是说对于一个多边形，它的内切圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。
三角形和
正多边形一定有内切圆。拥有内切圆的四边形被称为
圆外切四边形。
性质
（1）在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的
垂线段相等。
（2）正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
（3）常见辅助线：过圆心作垂直。
计算
1)对于一般的三角形，三角形面积公式如下：
s=r（a+b+c）/2
2)在直角三角形s=r(a+b+c)/2的内切圆中，有这样两个简便公式如下
r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
r=ab/ (a+b+c)
补充
扇形内切圆
与扇形
⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆 。
内切圆圆心O′在扇形的圆心角AOB的角平分线上
OO′=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径)
过O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中
∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r
∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r
内切圆面积=πr^2
扇形面积是原来圆面积的60/360=1/6
∴扇形面积=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2
∴扇形的内切圆面积与扇形面积的比为πr^2:(3πr^2/2)=2:3
直角三角形的内切圆的半径=二分之一×（直角边+另一直角边－斜边）
内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。
内切圆半径等于外接圆半径的2分之1
面积与原正方形比为π：4