共轭复根是一对特殊根。指
多项式或
代数方程的一类成对出现的根。若非实
复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α*也是方程f(x)=0的根，且α与α*的重数相同，则称α与α*是该方程的一对共轭复（虚）根。
根据一元二次方程求根公式
韦达定理： ，当 时，方程无实根，但在
复数范围内有2个复根。复根的求法为 （其中 是虚数， ）。
该方程称为二阶常系数
齐次线性方程。当r为常数时，的各阶导数都只相差一个常数因子。设，将其代入方程(1)，得：
式中，m和n为正整数，若m
若D(e)=0具有共轭复根，由于D(s)是s的实系数多项式，若D(s)=0出现复根，必然是成对共轭。设D(s)=0中含有一对共轭复根，如和，则F(s)的展开式中将含有如下两项，可得对应系数K1和K2也必为共轭复数，即有
因而对应的反变换为：
Jury阵元素
如果实系数多项式，n≥2m+1，an>0，有2m对模长等于1的共轭复根（不等于1和-1），其余n−2m个根的模长都小于1，则的Jury阵中的元素之间满足：n=2m+1时下列条件①②③⑤⑥成立，n>2m+1时条件①②③④⑤⑥成立。
①
②
③
④
⑤
⑥
离散系统
引理：实系数多项式的两个根是一对模长为1的共轭复根（不等于1和-1）的充要条件是：
①
②
定理：实系数多项式有一对模长等于1的共轭复根（不等于1和-1），其余n-2个根的模长都小于1的充要条件是：n=3时下列条件①②③⑤成立；n>3时下列条件①②③④⑤成立：
①
②
③
④
⑤