dim Cl(V,Q)≤n2.
设V的
自同态α，满足α(v)=-v，可扩张到Cl(V,Q)。由于α2=id，可定义分次代数Cl(V,Q)=Cl0(V,Q)⊕Cl1(V,Q)，使得两个子空间分别为α的
本征空间。
Cl(V)的乘法
单位群为Cl×(V)。由V中满足的v生成的Cl×(V)的子群为Pin(V)。Pin(V)与Cl0(V)的交为
自旋群Spin(V)。
向量空间Λ(V)的
基底是{1，ei，ei1∧ei2，…，e1∧…∧en}(1≤i≤n，1≤i1
同样，人们也有对偶空间V*的外代数：
的元素称为向量空间上的r次外形式，它是V上反对称r重线性函数。
人物简介
英国数学家。生于
埃克塞特(Exeter)，卒于
马德拉(M-adeira)1860年在
伦敦国王学院就学，三年后入剑桥三一学院。1867年荣获史密斯数学奖。第二年当选为该校应用数学教授。1874年成为皇家学会会员。克利福德在数学和物理学中的影响都很大。他将黎曼等人的非欧几何引入英国，并在有关四次方程、轨迹分类、黎曼曲面的拓扑结构等方面有独到见解，还创设了一种具有特殊性质的二阶曲面来研究曲面的几何结构，被称为“克利福德曲面”。这些成果对克莱因等人的工作有所帮助，也为相对论的建立提供了理论依据。在代数方面，克利福德继
哈密顿的
四元数之后，引入了新的超复数——
八元数(biquaternion)，并推广为更一般的“克利福德代数”。
发展
克利福德代数（Clifford algebra）的主要贡献者有：Hamilton（四元数），Grassmann（外代数），Clifford，Hestenes等等。
Hestenes是克利福德代数的发扬光大者，Hestenes的主要著作有：
《Space-time algebra》（克利福德代数被引入到狭义相对论中）。
《Clifford Algebra to Geometric Calculus》（克利福德代数结合了微积分，成为更强大的数学工具）
《New Foundations for Classical Mechanics》（经典物理学用克利福德代数重新书写）
还有一些将Clifford algebra应用于其他领域如
广义相对论、
量子力学、
量子场论、
射影几何、
微分几何、共形几何等中的著作。