伊藤引理_一个随机过程的函数作微分的规则

伊藤引理

一个随机过程的函数作微分的规则

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。发现者为日本数学家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本

第一引理

设布朗运动以及二次可导函数，以下等式成立：

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

第二引理

设布朗运动以及二次可导函数，以下等式成立：

第三引理

定义伊藤过程又称扩散过程有以下特性：

到半鞅的拓展

连续半鞅

不连续半鞅

泊松过程

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间上出现一次跳跃的概率是加上的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间[0,t]上没有跳跃的概率称为生存概率，其变化是：

因此生存概率为：

定义非连续随机过程S(t)，并把记为从左侧到达''t''时''S''的值，记是一次跳跃导致S(t)的非无穷小变化。有：

是跳跃幅度''z''的[[概率分布]]，跳跃幅度的期望值是：

定义补偿过程和[[鞅]]:

因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为

因此如果随机过程S同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：

考虑其函数。S(t)跳跃的幅度，会导致g(t)跳跃幅度。取决于的跳跃分布，有可能依赖于跳跃前的函数值，函数微分''dg''以及跳跃前的自变量值。的跳跃部分是：

函数的伊藤引理是：

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用

伊藤引理是研究随机过程和解随机微分方程的重要特性，在金融数学里有广泛的应用。例如布莱克-斯科尔斯模型

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 17:38

条目作者

概述

伊藤引理较早版本

到半鞅的拓展

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