一类特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2，其正整数解称商高数或
勾股数或
毕达哥拉斯数，中国《
周髀算经》中有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道 (3，4，5）是一个解。
刘徽在注《
九章算术》中又给出了（5，12，13），（8，15，17）， (7，24，25），（20，21，29）几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。这类方程本质上就是求
椭圆上的有理点。 另一类特殊的二次不定方程是所谓
佩尔方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整数。利用
连分数理论知此方程永远有解。这类方程就是求
双曲线上的有理点。 最后一类就是平方剩余
问题， 即求x^2-py=q的整数解， 用
高斯的
同余理论来描述，就是求x^2≡q(mod p) 的
剩余类解。高斯发现的著名
二次互反律 给出了二次方程是否有解的判定方法。这类方程就相当于求
抛物线上的整点。 圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做
椭圆曲线算术性质的一种
特例。