三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如右图示），其对角线、横行、竖列的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。中心数为5。

相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”。用数字翻译出来，就是三阶幻方。

2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》。它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中曾说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书。伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法。圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治。这是借鉴思维的开端，这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一。从洛书发端的幻方在数千年后的二十一世纪，更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究。如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿。

由1、2、3、……等连续自然数生成的幻方为基本幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成由零或负数组成的新幻方，新

幻方的幻和也随之变化，不再与原幻方幻和同。

如上图基本幻方中各数减1生成的新幻方，幻和为12，如下图示：

拆填方式

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。

古代方式

南宋数学家杨辉概括的构造方法为：

“九子斜排。上下对易，

左右相更。四维突出。”

中国古代九宫格的填法口诀是：

九宫之义，法以灵龟，

二四为肩，六八为足，

左七右三，戴九履一，

五居中央。

也有把这两者综合起来说的：

九子斜排，上下对易，

左右相更，四维挺出，

戴九履一，左七右三，

二四为肩，六八为足

即：

或

奇阶幻方通用构造法

口诀：

1 居上行正中央，

依次斜填切莫忘，

上出框界往下写，

右出框时左边放，

重复便在下格填，

出角重复一个样。

解释：

1、在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…；

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4、如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写。

5、也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。

例如：1为第一行中间数，则将对应的9填在最后一行的中间。2以次类推。

按照这种方式，做镜像或旋转对称，可得到实际相同的其他填法：

只要将1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字调到另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。

用1~9填出的三阶基本幻方的所有情况都是相互镜像或旋转的。

是本质相同的不同表现：

第一种：

第二种：

第三种：

第四种：

第五种：

第六种：

第七种：

第八种：

任意等差数列

任意等差数列都可以由1~9的每个数乘以X，再加Y，得到。

因此按照原先的从小到大的顺序排列，幻方仍然成立。

例如要用6、9、12、15、18、21、24、27、30构成幻方：

把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：

幻和值=54

等差的三组等差

3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。

同样按照基本幻方的大小排列他们的顺序即可

例如以下3组9个数：

【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】构成幻方，

幻和值=45。

以下规律对所有三阶幻方均成立：

幻和=3×中心数

证明：

通过中心数有4条线。将这4条线全部加起来，可以得到：

幻和×4=全体数的和+中心数×3

而我们知道三阶幻方中，全体数的和=3×幻和（三行或三列）

因此有：

幻和×4=幻和×3+中心数×3

化简得到：

幻和=3×中心数

过中心的线上的三个数，依次成等差数列。或者说，关于中心位置对称的两数，平均数是中心数。

证明：

过中心线的三个数之和为幻和。性质1已经说明，幻和=3×中心数。

因此中心数是这三个数的平均数。

从这之中去掉中心数不改变平均数。

因此中心数是关于中心位置对称的两数。

也就是一个数比中心数多多少，另一个数就比中心数少多少。即他们成等差数列

2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。2a=b+c

如：基本幻方中：2*8=9+7，2*4=1+7，2*6=3+9，2*2=1+3

证明：

过a有3条线。计算这三条线的和：

幻和×3=全体数的和+2×a-b-c

而

全体数的和=幻和×3

因此

2×a-b-c=0

2×a=b+c