一致逼近_数理科学术语 - 威林百科weilinceramic.com

一致逼近

数理科学术语

一致逼近是无穷级数的基本概念之一，指一类均匀的逼近。

定义

定义一

如果用函数列f1，f2，…，fn，…逼近函数Φ，取fi与Φ之差的模的上确界

作为fi与Φ的离差之测度，就称这种逼近是一致逼近，上式中Ω为在其内进行逼近的数集．

若fi(i=1，2，…，n，…)和Φ皆连续，而Ω为紧集，则上确界的符号可改为极大值符号。

定义二

① 对于任意的f(x)∈[a，b]，在范数

的意义下定义两个函数的距离：

② 若一个函数序列在如上定义的距离的意义下满足

则称fn(x)在[a，b]上一致收敛于f(x)．

通常也称在度量||·|| 下的逼近问题为一致逼近问题．

最佳一致逼近

最佳一致逼近多项式

定义设Pn∈Hn，f(x)∈C[a，b]，称

为Pn(X)对于f(x)的偏差，称

为Pn(x)对f(x)的最小偏差，或称最佳逼近．

定义设f(x)∈C[a，b]，若∃ ∈Hn使得

则称是f(x)在[a，b]上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式．

最佳一致逼近多项式的存在性和唯一性

定理1 (Borel，1995)对于任何f(x)∈C[a，b]，在Hn中存在多项式，使得

定理2 设f(x)∈C[a，b]，p(x)∈Hn，则p(x)为f(x)的最佳一致逼近多项式的充分必要条件是，f(x)一p(x)在[a，b]上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组。

由该定理可知，若f(x)∈C[a，b]，则在以Hn存在唯一的最佳一致逼近多项式，且最佳一致逼近多项式是f(x)的一个拉格朗日插值多项式。

实际求出最佳一致逼近多项式p(x)往往比较困难。一般利用下述定理求取最佳一致逼近多项式。

定理3 设f(x)在[a，b]上n+1阶可导，且在[a，b]上不变号，若p(x)∈Hn是f(x)的最佳一致逼近多项式，则端点a与b属于f(x)一p(x)的交错点组。

参考资料

最新修订时间：2024-07-04 18:23

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