最佳一致逼近多项式
数学名词
设f(x)∈C[a,b]，若存在P*n属于Hn，使得△(f,P*n)=En，则称P*n是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多项式。最佳一致逼近多项式是一种用多项式去逼近函数的方法，通常可利用切比雪夫定理进行求解。
基本概念
偏差
若，，则称为与 在[a,b]上的偏差。
注：，的全体组成一个集合，记作：，它有下界0。
最小偏差
若记集合的下确界为：
则称为在上的最小偏差。
偏差点
设，，若上有，则称是的偏差点。
若，则称是的“正”的偏差点。
若，则称是的“负”的偏差点。
注：由在上的连续性可知，偏差点一定存在。
交错点组
若函数在其定义域的某一区间上存在n个点，使得：
则称点集为函数在区间上的一个交错点组，点为交错点。
多项式
假定，若存在使则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式。
定理1：若，则总存在，使得
定理2：设是区间上的连续函数，是的次最佳一致逼近多项式，则必须同时存在正负偏差点。
定理3：是的最佳一致逼近多项式的充要条件是在上至少存在n+2个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有n+2个，使，，这样的点称为Chebyshev交错点组。
推论1：如果，则在中存在唯一的最佳一致逼近多项式
推论2：如果，则其最佳一致逼近多项式就是的一个拉格朗日插值多项式。
多项式
设，在内不变号，是的一次最佳一致逼近多项式，则a,b属于交错点组。
由定理可知：
至少存在3个交错点，
,
因为是的一次最佳一致逼近多项式，所以
因为，所以单调，所以在只有一个零点，记作，即
，另外的两个偏差点就一定是a和b。
则有：
几何意义如图1：
例题
求函数在区间上的最佳一致逼近多项式。
解：
，
由
得：
即：
解得：
故
所求一次最佳逼近多项式为
故
误差限为：
参考资料
最新修订时间：2022-09-19 16:28
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