只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为5（即“次”）的整式方程叫做一元五次方程（英文名：Quintic Equation with one unknown）。一元五次方程的标准形式（即所有一元五次方程经整理都能得到的形式）是ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0（a,b,c,d,e,f为常数，x为未知数）。

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是5次的整式方程叫做一元五次方程。

形如 的方程是一元五次方程的标准型。

本公式判别法的缺点是仅可求解实系数的部分五次方程。根据Abel定理，一般形式的五次方程无根式解；但对于所有存在重根的五次方程及部分特殊情况下的五次方程而言，可用如下的天珩公式求解，当且仅当重根判别式D=0时，方程存在重根。重根判别式：

总判别式

(1)若L=M=N=P=0，则方程有一个五重实根。

(2)若L≠0，G=H=J=0，当7L2=4N时，方程有五个实根，其中有一个四重根。

,

当7L2≠4N时，方程有五个实根，其中有一个三重根和一个二重根。

,

(3)若G≠0，E=F=0，当H2+GJ=0时，方程有一个三重实根，其余两根根据根号内被开方数的正负可能为两个不等实根或一对共轭虚根。

,

当H2+GJ≠0时，方程有两对二重根和一个独立实根。其中，两对二重根根据根号内被开方数的正负可能为两对不等实根或两对共轭虚根。

,

(4)若E≠0，D=0，则方程有一个二重实根，其余三根为三个不等实根(Δ1<0)或一个实根及一对共轭虚根(Δ1>0)。(注：Δ1一定不为0)

其中二重实根为：

当Δ1＞0时，

令，则其余三根为：

,

当Δ1＜0时，

令，则其余三根为：

,

(5)若D≠0，M=N=0，Δ2＞0，则方程有一个实根和两对不等共轭虚根。

其中，

(6)若D≠0，M=N=0，Δ2＜0，则方程有五个不等实根。

其中，

(7)若D≠0，MN≠0，L=K=0，则方程有一个实根和两对不等共轭虚根。

先将方程配方：方程两边同时除以a，后令y=x+b/5a，即x=y-b/5a，化为关于y的一元五次方程：

y5+py3+qy2+ry+s=0

若满足q=p2-5r=0，则方程可用以下方法求解：（该公式的缺点在于，仅能求解满足特殊情况q=p2-5r=0时的根，部分使用天珩公式(如上)能够求解的实系数五次方程无法使用该公式求根）

其中，V是1的一个五次方根且不为1。可取，

遇虚数开方时，可使用如下公式：