Π-定理,即
量纲分析基本原理,是
量纲分析法的理论基础。这个定理由Backingham在1914年提出。到了1922年,R.W.Bridgman把这个定理称为Π定理, 这是因为π这个符号是由Buckingham在定理的推导和证明中用来表示无
量纲量的缘故。关于量纲的应用,除了一般的介绍单位的换算、检查公式的对错等少数方面,但量纲分析法又是量纲分析的理论核心。
定理内容
量纲
由于各
物理量之间存在
规律性的联系,我们不必对每个物理量的单位都独立地予以规定。我们可以选取一些物理量作为“
基本量”,并且为每个基本量规定一个“基本量度单位”,其他物理量的量度单位则可以按照它们与基本量之间的关系式(定义或定律)导出,这些物理量称为“
导出量”,它们的单位称为“
导出单位”。按照此种方法构成的一套单位,构成一定的“单位制”。在不同的单位制中,不仅基本量的选取可以不同,基本量的数目也可以不同。例如,
CGS单位制中有三个基本量,MKSA单位制中有四个基本量。
在选定了单位制之后,导出量的量度单位就可以由基本量度单位表达出来,这种
表达式称为该导出量的“
量纲式”,设 是所选单位制中的 个基本单位,用 代表导出量 的量纲式,则
量纲可以看成是某个“
矢量空间”中的“矢量”。于是,对 式两端取对数,则有
这里,若我们把 看作 维空间的“正交基矢”,则 就是“矢量” 在
基矢上的投影,或者称作“分量”。自然地约定,
量纲式可以写作:
所谓几个物理量的量纲彼此独立,是指无法用他们的幂次乘积组成无量纲的常数。用矢量的语言表达,就是代表量纲的矢量彼此线性无关。在 维空间内最多有 个彼此线性无关的矢量。
个矢量 线性无关的条件是由他们组成的
行列式不等于零:
Π定理
量纲分析法的理论基础是Π-定理,这个定理是E.Buckingham在1914年提出的:
设某个物理问题涉及 个
物理量(包括物理常量) ,而我们选取的单位制中有 个基本量 ,则由此可组成 个无量纲的量 。在物理量 之间存在函数关系式
可相应表达为无量纲形式:
(在 的情况下有两种可能:若 的量纲彼此独立,则不能由他们组成无量纲的量;若不独立,则还可能组成无量纲的量。)
证明
设 个物理量的量纲为
其中最多只能有 个是线性无关的。我们假定它们是其中的前 个,则其余 个物理量中的任何一个都可表示为它们的
线性组合,也就是
由于
等式左端方阵的行列式不等于零,故对每个 有一组解 ,共 组,这就是说,我们有
或者说
是一些无量纲的量,这样无量纲量共有 个。
我们设想把 的量度单位分别改变为原来的 ,则在这个单位制下这些量的数值 与原来的数值 有如下关系:
量纲关系式 表明,物理量 在新旧单位制之间的数值关系为
取 ,由 和 式有
函数式 不应该受度量单位变化的影响,亦即我们有:
对于上述的特殊选择,有
这就是 式,证毕.▏
等价形式
Π定理可以表示为另一等价形式,这一形式在很多场合更便于使用。在一定问题中物体系的发展和演化往往由若干个变量决定,不妨叫做“主定参量”在上面的推演中, 实际上起着一组新基矢的作用,我们尽可以选为代表主定参量的量纲矢量。如果在其他的物理量中我们感兴趣的是其中的某一个,譬如 ,则我们可以从 式中把 解出来:
因 ,并将 解出,于是有
这便是Π定理的另一种表述形式。
应用
Π-定理有许多应用,给出两个例子。
量子涨落
设想两块无限大平面壁相距 ,皆由理想导体构成。从经典理论看,两壁之间应该没有
作用力,但若计及(相对论性)
电磁场的
量子真空涨落效应,求两壁单位面积上的作用力 也即压强和距离的函数关系。
利用Π-定理解答是。除了距离 外,这里涉及电磁场,有关的参量为真空中的光速 ;还涉及到量子效应,有关的参量还有普朗克常数 ,从量纲表
可以解出 ,即
也就是说, 反比于 的四次方。解答很简单,揭示的思想和联系却很深刻。
勾股定理
这个著名的定理,又称
毕达哥拉斯定理,也可以用量纲法来证明。
一个直角
三角形的面积可由它的一边(譬如斜边 )和一个锐角(譬如 )决定。 是无量纲的,根据定理的
等价形式,可以写出:
作 边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形,它们各有一个是 的角,所以它们的面积应该分别是
又因为 ,所以
也就是