黎曼空间是一种非欧几里得空间，是弯曲空间，也是一种度量空间，具有不变的线元ds2=gikdxidxk，其中，作为广义坐标（x0,x1,…,xn）函数的gik，称为黎曼度规，是个二阶对称张量，故又称度规张量。

黎曼对称空间(Rimannian symmetric space)常曲率黎曼流形的一种直接推广.对于黎曼流形的一点二，可以定义M的以x为弓如下:对任一点p，使as对合自同构的研究，最终归结为实单李代数的研究.单连通的完备黎曼流形为黎曼对称空间的充分必要条件为其曲率张量的协变导数为零，即曲率张量在平行移动下不变.一般地，若一个黎曼流形有此性质，则称之为局部黎曼对称空间.

嘉当(Cartan , E.)于1926年开始研究的黎曼对称空间理论，大大丰富了克莱因(Klein, 几何学是流形关于其变换群的不变性理论.到1927年，嘉当已经完成了黎曼对称空间的分类问题.保留了欧氏空间与欧氏球面的度量性质与对称性质的空间就是黎曼对称空间.嘉当解决黎曼对称空间分类问题的另一种方法是以完整群为基础的.若x为黎曼流形M上的一点，沿着以x为起点的闭曲线的平行移动诱导出x的切空间上保持黎曼结构不变的线性变换.由这些线性变换生成的群，称为x的完整群.流形上不同点的完整群是同构的.从x的完整群的一个元素，可以导出保持x不动的局部等距变换，由此建立完整群的李代数、黎曼结构与曲率张量间的关系，从而解决黎曼对称空间的分类问题.

黎曼对称空间可以推广为准黎曼对称空间.其局部问题由伯热(Berger , M.)和严志达解决.整体问题在非紧群流形情况下由后藤以纪、小林昭七和西罗塔(Sirota , A. I.、索罗多夫尼科夫(Solodovnikov, A. S.)等人解决.更一般的对称空间是一个齐性空间G/H,H是李群G的一个对合自同构6的不动点子群的单位连通分支.嘉当对于一般对称空间的贡献是关于它们的贝蒂(Betti,E. )数，并说明了它们的贝蒂数和紧李群贝蒂数的关系.

它们的贝蒂数的确定简化为一个纯代数问题.不仅黎曼对称空间的几何性质与拓扑性质是重要的，而且黎曼对称空间对分析学也有深刻的影响.古典分析学是以空间R或C为基础的.现代的以黎曼流形为基础的分析学有了极大的扩张.黎曼对称空间上的分析学已有了许多深刻的结果与应用.例如容许复结构的黎曼对称空间—埃尔米特对称空间上的函数的研究，成为多元复变函数论中的重要内容.