高斯整数环(ring of Gauss integers)是欧氏环的一个著名例子。设Z[i]={a+bi | a,b是整数，i为虚数单位}。 Z[i]对通常数的加法和乘法构成一个整环，称为高斯整数环。而将a +bi → a2+b2非负整数集的映射，并且这个映射满足欧氏环定义的条件，因此，Z[i]也是欧氏环。

形如 的数称为高斯整数，是高斯在研究二次不定方程时首先提出的。记 ，可以证明 关于数的加法和乘法做成交换环，我们称之为高斯整数环。另外，将高斯整数环推广到 的情形，称为高斯整数环的推广环。

高斯整数环是一种构造特殊且具有一定代表性的环 ，在代数环论中占有重要的地位 。既融入了环论的思想，同时亦包含有数论的思想，对于高斯整数环的研究一直是国内外学者的重要课题之一，数学家们通过多年的研究，得出了许多重要且富有意义的结论。

（1）高斯整数环是欧几里德整环。

（2）高斯整数环是主理想整环。

（3）高斯整数环是唯一因式分解整环R，满足下列两个条件：

①因子链条件成立 ，即如果序列中 ，每一个 是 的真因子，则这个序列是有限序列；

②每一个不可约元都是素元，则R是唯一因式分解整环。

中的单位只有±1，±i 四个元素。

中的素元当且仅当是不可约元。

对于环 Z[i]，它的元素可分为两部分，一部分是整数，另一部分是形如 a+bi（b≠0）的元素。首先讨论整数集 Z中的素元。Z 中的非素数肯定不是 Z[i]中的素元 ，因为 Z[i]中的素元要求除本身及单位外无其他因子，故只有素数才可能是 Z[i]中的素元。但并非 Z中的一切素数都是 Z[i]中的素元，例如素数 2在Z[i]中可分解为 ，1±i 都不是 2的相伴元，显然它不是 Z[i]中的素元。一般的，除 2外，其他素数都可以写成 4n+1 与4n+3 的形式，有如下定理：

（1）有理素数 p为Z[i]中素元的充分必要条件是方程 x2+y2=p 没有整数解。

（2）形为 4n+1 类的素数为 Z[i]的非素元。

（1）设 α∈Z[i]，若φ（α）为素数，则 α为Z[i]中的素元。

（2）若为素数，则

①若 n=1，则α 为Z[i]中的素元；

②若 n>1，则α 为Z[i]中的非素元；