项测试_数学上测试无穷级数是否发散的方式

项测试

数学上测试无穷级数是否发散的方式

项测试（term test for divergence）是数学上测试无穷级数是否发散的一个方式。

介绍

第n项测试（the n-th term test for divergence）是数学上测试无穷级数是否发散的一个方式。

若或极限不存在，则发散。

用途

项测试和其他较强的收敛测试不同，此测试方式只能确认级数是否发散，不能确认级数是否收敛。若不符合此测试的条件，无法判定级数是收敛或是发散。例如：

若，则可能收敛也可能发散，此条件下无法用此测试判定级数是否收敛。

调和级数就是不符合此测试的发散条件，却又是发散级数的典型范例。调和级数是以下p级数的特例：

配合项测试及其他测试，可得到以下的结果：

证明

要证明此测试法，一般都会证明其逆否命题（contrapositive）形式；

若收敛，则。

利用极限证明

若sn是级数的部分和，则上述对数列的假设可推得

因此可得

柯西判别法

级数收敛的假设表示级数可以满足柯西判别法的测试：对任均存在一数字N使得

在所有n>N及p≥ 1的条件下均成立。令p= 1，即可得到。

应用范围

项测试最简单的版本可以用在实数的无穷级数中。上述的二个证明也可以在适用在赋范向量空间中。

参考资料

最新修订时间：2022-08-26 11:11

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