非线性数学，是数学科学的一个新的门类和学科体系。其是与传统的线性数学体系相对应的、相对称的数学领域。迄今为止的大部分数学学科，属于线性数学领域。非线性数学的基础，是传统的线性数学。同时，非线性数学也有着与线性数学本质上不同的独特理论和方法。一般认为，孤立波和湍流、混沌和分形等领域的数学，属于非线性数学领域。非线性数学，必将成为未来数学的主流。

非线性，是世界上的物质运动的本质属性（线性是其特例）。近百年来，非线性问题层出不穷，引起了科学家的极大关注。

随着人们对非线性现象的认识越来越深入，非线性物理、非线性动力学、非线性光学等非线性科学已经成为科学研究和技术进步的热点领域，成为日渐庞大的学科体系。与之相应的数学，也在逐步发展。混沌学、分形学、动力系统、微分方程等非线性数学领域进展迅速。

应该指出，当前的数学科学体系和内容，在很大程度上属于线性数学范畴。客观地讲，在非线性领域，数学远远跟不上科学技术发展，滞后于现实需求，大多停留在以还原论思想指导下的借助离散化、线性化方式来模型化、模拟化解决非线性问题的初级水平上。非线性数学，无论是在认识论角度上的理论基础、基本概念、体系结构，还是在方法论角度上的技术路径、定性分析、定量关系，均存在着很大发展空间。构建非线性数学体系，是一项任重道远的宏伟工程。

当前的传统线性数学，是未来的非线性数学的必要基础。但传统数学以往从微观到微观的发展路径将会越走越窄，未来数学必须在宏观上从整体去把握各个数学研究对象，提出新概念，创造新方法，形成新理论，构建新体系。

非线性数学，至少应包含以下各方面内容：

——非线性算术，即非线性数论，其基础是经典同余概念下的复合同余性的研究，核心是满足整性要求的条件迭代下的离散动力系统的研究内容，走的是非传统数系逐步扩展的、保持整性的创新道路。这在原始和广义克拉茨问题研究中，已经取得突破性成果。

——非线性代数，即非线性抽象代数，其核心是在元素分类、集合分解基础上的非线性群、非线性环、非线性域等方面的研究。某些典型的非线性代数结构，均有很好的对称性和数学性质。

——非线性几何，自然应包括曼德勃罗的以分数维研究为重点的分形几何学。

——非线性方程，从非线性观点开展各类常微分方程和偏微分方程的研究，在寻求公式解和近似解之间打开新的通路。其中，各类不动点（系）和极限环是方程解的稳定性研究的重点。

——非线性分析，即非线性数学分析，以非线性收敛性（包括非线性一致收敛、非线性绝对收敛）等概念为基础，研究实数全域中的定义域（初值）分类和值域作为“收敛集合”的“动阻耦合”映射下的极限性质，将经典数学分析研究的微观的点收敛、中观的区间收敛，拓展到整体的全域（包括低维和高维空间）的收敛集合（其中包含各种形式收敛的子集合）；也应包含混沌学、波莱尔的测度论和鲁滨逊的非标准分析等内容。需要指出的是，发展二维的非线性复分析，可能是通向黎曼猜想解决的途径之一。

——非线性拓扑，重点研究满足正则非线性条件的非线性同构、同胚和非整数（分数）亏格等方面的问题。

——非线性概率，包括非线性数学期望等方面的研究。

——非线性逻辑，即非线性数理逻辑，引入自相似结构模式归纳的非线性公理，构建非线性数学归纳法的公理基础。

非线性数学的领域极为宽广、内容极为丰富，尚待新一代数学工作者开拓创新、努力耕耘。可以设想，当非线性数学蓬勃发展之日，方为现代数学趋近成熟之时。