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集函数

数理学科术语

集函数是测度论中定义的概念，是以集类为定义域的函数。关于集函数，也可引入单调性、收敛性等概念。

简介

集函数是测度论中定义的概念，是以集类为定义域的函数。

定义

设𝒞是Ω上的一个集类，K是实数域或复数域，称映射μ:𝒞→K为定义在𝒞上的集函数。

相关概念

若实值集函数μ的值可允许取+∞或-∞，则称此集函数为扩充实值集函数。

设μ是定义在集类𝒞上的扩充实值集函数：

如果对任意A,B∈𝒞，A⊂B，均有μ(A)≤μ(B)，则说μ为单调集函数。

如果对任意A,B∈𝒞，A⊂B，B-A∈𝒞，与|μ(A)|＜∞，均有μ(B-A)=μ(B)-μ(A)，则称μ为减性集函数。

例子

重要的（数值）集函数有测度、集上的积分等。

性质

若μ为环R上的测度，则μ为单调减性集函数。

关于集函数，也可引入收敛性等概念。

设{μn}是集类𝒞上的集函数列，若对于每个A∈𝒞，数列{μn(A)}收敛，则说{μn}在𝒞上收敛。若对于每个A∈𝒞，有，则称{μn}在𝒞上一致收敛于μ。

向量值集函数

当K是向量空间或算子集时，分别称映射μ:𝒞→K为𝒞上的向量值集函数或算子集函数。

常见的这种集函数有向量值测度、谱测度和谱积分等。

参考资料

最新修订时间：2022-09-20 21:01

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概述

简介

定义