雅可比符号_数论符号 - 威林百科weilinceramic.com

雅可比符号

数论符号

作为勒让德符号的推广，雅可比符号(Jacobi symbol)是Jacobi于1837年引入的一种数论符号。

简介

雅可比符号(Jacobi symbol)是勒让德符号的推广，整数对整数的雅可比符号表示为。设是大于的奇数，且的素因数分解式为 (式中因数可以相同)，如果，则雅可比符号定义为：

其中，是对的勒让德符号。例如，取，则：

注：雅可比符号是勒让德符号的推广，但是根据雅可比符号的值不能判断同余式是否有解。

定义补充说明

（1）当是奇素数时，雅可比符号就是勒让德符号。

（2）当是奇素数且时，方程有解。当m不是奇素数时，这个结论不一定成立。

定理

定理1

（1）若，则

（2）

（3）对于任意的整数，有

（4）对于任意的整数a，b，(a,m)= 1，有

定理2

设是奇数，其中是素数，则下面的结论成立：

（1）

（2）

定理3

设m，n是大于1的奇整数，则

利用以上定理，可以容易计算Jacobi符号，特别是Legendre符号的数值。但是，必须注意，在判断方程的可解性时，Legendre符号和Jacobi的作用是不一样的。

对于一般的正奇数m来说，即使条件成立，也并不能保证一定有解。

举例

例1

已知3371是素数，判断方程是否有解。

解：利用Jacobi符号的性质，有

因此，方程无解。

例2

设a与b是正奇数，求的关系。

解：

参考资料

最新修订时间：2024-01-22 15:03

条目作者

概述

简介

定义补充说明

定理

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