隐函数存在定理主要讲述如何从二元函数F(x,y)的性质来判定由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)是存在的，并且，这个函数还具有某些特性。

设，函数，对于方程

（1）

如果存在集合，对任何，有唯一确定的，使得，且满足方程（1），则称方程（1）确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。若把它记为

则成立恒等式

隐函数必须在指出它的方程以及x,y的取值范围后才有意义。当然，在不产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明，此外，还需指出：并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程：，当时，就不能确定任何函数，使得：；而只有当时，才能确定隐函数。

若函数满足下列条件：

(i)F在以为内点的某一区域上连续

(ii)（通常称为初始条件）

(iii)F在D内存在连续的偏导数

(iv)

则

1°存在点的某邻域，在上方程唯一地决定了一个定义在某区间上的隐函数，使得当时，，且，；

2°在上连续。

注意之处：

（1）该定理的条件仅仅是充分的，例如方程，在点不满足条件(iv)（），但它仍能确定惟一的函数。当然，由于条件(iv)不满足，往往导致定理结论的失效，例如双纽线，其方程为：。由于，与均连续，故满足定理(i)(ii)(iii)，但因，致使在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数。

（2）在定理的证明过程中，条件(iii)和(iv)只是用来保证存在的某一邻域，在此邻域内F关于变量y是严格单调的。

（3）如果把定理的条件(iii)、(iv)改为连续，且，这时，结论是存在惟一的连续函数

设满足隐函数存在惟一性定理中的条件(i)-(iv)，又设在D上还存在连续的偏导数，则由方程(1)所确定的隐函数在其定义域上有连续导函数，且。

n元隐函数的惟一存在与连续可微性定理：

若

(i)函数在以点为内点的区域上连续，

(ii)

(iii)偏导数在D上存在且连续

(iv)

则

1°存在点的某邻域，在上方程惟一地确定了一个定义在的某邻域上的n元连续函数（隐函数），使得：

当时

且

2°在上有连续偏导数，而且

若

(i)与在以点为内点的区域上连续

(ii)（初始条件）

(iii)在上具有一阶连续偏导数

(iv)在点不等于零

则

1°存在点的某一（四维空间）邻域，在上，方程组（1）惟一地确定了定义在点的某一（二维空间）邻域上的两个二元隐函数

使得：

，且当时

2°在上连续

3°在上有一阶偏导数，且