除数函数
算术函数
数论上,除数函数是一类算术函数。除数函数定义为n的正因子的次幂之和。
定义
在数学中,特别是在数论中,除数函数是一个与整数除数相关的算术函数。 当被称为除数函数时,它计算一个整数(包括1和数字本身)的除数。 它出现在许多显着的身份中,包括关于黎曼ζ函数和爱森斯坦系列模块化形式。 除数函数由Ramanujan研究,他给出了一些重要的同余和特征,这些在Ramanujan的文章中分开处理。
一个相关的函数是除数求和函数,顾名思义,它是对除数函数的求和。
除数函数定义为n的正因数的x次幂之和,即
例子
例如,σ0(12) 是12的除数:
当σ1(12)是所有除数的和:
而适当的除数的等分和s(12) :
特殊情况
正因数的数目;
的正因数之和(包括自己)。
性质
都是积性函数,但不是完全积性。
,而这等式与相等,即n的各因数的x次方后的和,此式在x=1时即为n包括n本身在内的各因数的和。
系列联系
涉及除数函数的两个Dirichlet系列是:
当d(n)=σ0(n)是
涉及除数函数的Lambert系列是:
其中 |q|≤1 和a。这个总和也表现为爱森斯坦系列的傅里叶级数和Weierstrass椭圆函数不变量
参考资料
最新修订时间:2022-09-20 21:19
目录
概述
定义
例子
特殊情况
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