阿贝尔簇是一个代数群，它同时又是完全代数簇。完全性的条件蕴涵着对阿贝尔簇的严格限制。因而阿贝尔簇可以作为闭子簇嵌入射影空间；非奇异簇道阿贝尔簇道每个有理映射都是正则的，阿贝尔簇上的群律是可交换的。
复数域上的阿贝尔簇理论，本质上等价由
雅可比（C.G.J,Jacobi)，
阿贝尔(N.H.Abel)及
黎曼 (B.Riemann) 建立的阿贝尔函数论。如果 表示 n 维向量空间， 是秩为 2n 的格，则商群 是复环面 (complex torus)。X 上的
亚纯函数就是 上关于周期格 不变的亚纯函数。如果 X 上的亚纯函数域 K 的超越次数是 n，那么 X 可以有一个代数群结构。由 X 的紧性，这个群结构是唯一的，且这个结构的有理函数城与 K 重合。这样构成的代数群是一个阿贝尔簇。而且域 上的每个阿贝尔簇都可以用这种方法得到。确定 基的矩阵可以简化为形式 其中 E 是单位阵，Z是 n x n 阶矩阵。
复环面 是阿贝尔簇当且仅当 Z 对称且有正定虚部[即整曼条件(Riemamn conditions)]。这里应当指出的是，作为实李群，所有的簇 X 都同构，但是对 X 的解析或代数结构来说，这并不成立。当 形变时，它们强烈的变化。对周期矩阵 Z 的考察表明，它的变化具有解析特征，最后得出具有给定维数 n 的所有阿贝尔簇的参模族的构造。这个参模放的维数是n(n + 1)/2。
任意域 k 上的阿贝尔簇理论应归功于
韦伊(A.Weil)，它在代数几何学本身及数学其他领域，特别是数论和自守函数论中，有许多应用。对每个完全代数簇，都可以函子似的关联个阿贝尔簇（阿尔巴内塞族、皮卡簇、中间雅可比簇）。这些构造都是研究代数簇几何结构的有力工具。
例如，可以得到吕罗特问题的一个解。另一个应用就是有限域上代数曲线的黎曼假设的证明——这个问题正是阿贝尔簇的抽象理论的发端。它也是 进(l-adic) 上同调的来源之一。这种上同调最简单的例子就是阿贝尔簇的泰特模。它是 阶点的群 当 时的射影极限，而这种群结构的确定正是韦伊理论的主要成果之一。事实上，若 m 与域 k 的特征 p 互素且k 是代数闭城，则群 同构于 当m = p时，情况要复杂得多。结果就是导出了诸如有限群概形、形式群 (formal group) 和 p 可除群(p-divisible group) 等概念。
对阿贝尔簇的自同态，特别是弗罗贝尼乌斯自同态在泰特模上自同态作用的研究，使得有可能证明（对有限域上的代数曲线的）
黎曼假设(Riemann hypothesis)，它也是阿贝尔簇的复乘法理论中的主要工具。另一些与泰特模有关的问题包括在这个模上基域闭包的
伽罗瓦群的作用的研究。由此导致泰特猜想以及泰特本田理论，它应用泰特模语言描述有限域上的阿贝尔簇。
对局部域包括 p 进域上阿贝尔簇的研究发展很快。与阿贝尔簇表示成商空间 在这种域上相类似的表示，通常称为单值化，由芒福德(D.Mumford) 和雷诺(M.Raynaud)构造出来。与复数情形不同的是，并非所有的阿贝尔簇都能被单值化，仅仅是可被模 p 约化为乘法群的那些才能被单值化。整体（数或函数）域上的阿贝尔簇的理论在丢番图几何学中起重要作用。