用相量形式描述
正弦交流电路时,电路中的电阻R、电容C、电感L及其组合的电路元件均可用复数表示。电路元件对应的复数称为其阻抗,复数的大小称为阻抗模。
推导过程
对于正弦电压
当电压加在电阻元件 两端,设电阻为 ,产生电流 。
当电压加在电容元件 两端,设电容为 ,由电容 , ,可得流经电流为
当电压加在电感元件 两端,设电感为 ,由电感 , ,可得产生电流为
由上述公式可知,电阻元件 ,电容元件 ,电感元件 均不会改变电路中正弦电压与电流的频率,因此可以引入
相量的概念,用一个带有幅值和角度的复数量表示正弦量,即
则可以把电路元件 用相量形式表示,上述的表达式可以写为
电阻元件:
电容元件:
电感元件:
其中,j为复数符号,为了区别于电流符号i。写为相量形式后,采用类似电阻元件VCR的表达方法,则称 为电容的容抗,它对应复平面上演着虚轴负方向,长度为 的相量;称 为电感的感抗,它对应复平面上沿着虚轴正方向,长度为 的相量。容抗和感抗的单位都是欧姆(Ω),习惯上用 表示。容抗、感抗和电阻是构成阻抗的三个部分。
一般的电路元件都不仅仅有电阻或容感特性,而是两种或三种的组合,一般将其等效为电容、电阻和电感的串联,也可以等效为并联。但不管用何种等效,都可以将其复平面上的相量表达为
称为阻抗, 称为阻抗的阻抗角, 就称为阻抗模,它对应阻抗相量的长度,数学关系上有
工程应用
阻抗模忽略了阻抗的阻抗角,仅仅考虑其模量,等效于将阻抗相量简化为实轴上一条等长度的相量,即将阻抗简化为电阻。对于很多阻抗角足够小的场合,如
直流电动机电枢阻抗、
变压器阻抗,可以很大程度上简化电机的建模。
以电力系统中负荷节点为例,负荷阻抗复平面上可以表示为 以坐标原点为圆心 , 以零点为半径的右半圆 ( R>0 )。负荷阻抗位于半圆周 时 , 负荷节点处临界状态 ; 如果负荷阻抗位于半圆的外侧时 , 负荷电压位于高压域 , 处于稳定状态 ; 相反 ,如果负荷阻抗位于半圆的内侧时 , 负荷电压位于低压域 , 电压失稳。利用临界阻抗模 的稳定性 , 可以用 负荷节点工作点的阻抗模与其临界阻抗模进行比较 , 来判断该节点的电压稳定性 , 进而判断全系统的 电压稳定性。
此外,临界阻抗模可以对网络理论中最大功率传输定义进行扩展:在交流网络中 , 网络对任一 负荷节点在不同功率因数条件下的最大传输功率条件是 ,该负荷 节点的阻抗模等于其临界阻抗模 (戴维南等效阻抗模 ),有助于分析电压质量。