行阶梯形矩阵
线性代数术语
行阶梯形矩阵(Row-Echelon Form),是指
线性代数
中的某一类特定形式的
矩阵
。
阶梯形矩阵
定义
形如
的矩阵称为行阶梯形矩阵,简称
阶梯型矩阵
。其特点为:每个阶梯只有一行;元素不全为零的行(非零行)的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大(列标一定不小于行标);元素全为零的行(如果有的话)必在矩阵的最下面几行。
举例
例如
均为阶梯形矩阵。
区分
行最简形矩阵
在阶梯形矩阵中,若非零行的第一个非零元素全是1,且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零,就称该矩阵为行最简形矩阵。
例如矩阵
标准形矩阵
在最简形矩阵中,非零行有且只有一个非零元素且为1,则称该矩阵为标准形矩阵。
例如矩阵
矩阵变换
下列三种变换称为矩阵的行初等变换:
(1)对调两行;
(2)以非零数k乘以某一行的所有元素;
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。
将定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换,统称为矩阵的初等变换。
有如下定理成立:
(1)任一矩阵可经过有限次初等行变换化成阶梯形矩阵;
(2)任一矩阵可经过有限次初等行变换化成
行最简形矩阵
;
(3)矩阵在经过初等行变换化为最简形矩阵后,再经过初等列变换,还可以化为标准形矩阵,因此,任一矩阵可经过有限次初等变换化成标准形矩阵。
一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的(行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的)。
参考资料
最新修订时间:2024-08-26 08:23
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概述
阶梯形矩阵
区分
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