在数学上，证明是在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。比起证据，数学证明一般依靠演绎推理，而不是依靠自然归纳和经验性的理据。这样推导出来的命题也叫做该系统中的定理。

数学上的证明包括两个不同的概念。首先是非形式化的证明：一种用来说服听众或读者接受某个定理或论断的严密的自然语言表达式。由于这种证明依赖于证明者所使用的语言，因此证明的严密性将取决于语言本身以及听众或读者对语言的理解。非形式化证明出现在大多数的应用场合中，例如科普讲座、口头辩论、初等教育或高等教育的某些部分。有时候非形式化的证明被称作“正式的”，因为其中的论证严谨，理据充足，但数理逻辑学家使用“正式的”证明时指的是另一种完全不同的证明——形式化证明。

在数理逻辑中，形式化证明并不是以自然语言书写，而是以形式化的语言书写：这种语言是由一个固定的字母表中的字符所构成的字符串组成的。而证明则是以形式化语言表达的有限长度的序列。这种定义使得形式化证明不具有任何逻辑上的模糊之处。研究证明的形式化和公理化的理论称为证明论。尽管理论上来说，每个非形式化的证明都可以转为形式化证明，但实际中很少需要用到。对形式化证明的研究主要应用在广泛意义上上可证明性的性质，或说明某些陈述的不可证明性等等。

证明的对象是命题，命题的本质是断定，断定的性质是明确。明确的解释就是没有歧义。许许多多的数学证明，发生了模糊概念的结果，这个就不能算是完成证明。所以，数学证明要求数学概念精确、专一、系统、稳定，可以检验，可以区分。推理符合形式逻辑要求。在其他学科，例如物理学中，科学事实很快可以上升到科学定律。但是，数学证明不承认科学事实（所以归纳法无效），必须把事实上的科学概念，经过演绎证明以后，才能算数学定理。。只有通过严格的逻辑证明才能确认结论的真实性是数学与其他学科最根本的差异。

1，数学证明有直接的正面的证明，即演绎法就是指三段论方法，三段论有256个格，有效格只有24个。

数学证明产生的全称判断最常用的格是AAA.。

三段论方法必须严格按照规则，参见三段论。,

2，数学证明使用反证法最容易出现错误。因为反证法要使用“假定”。

1，假定。只能用在否定结果的证明中，例如，欧几里得证明素数无穷多个和费马无穷递降法。 假定a成立，可以推出b，得到c，c与a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。

2，假定不能用在肯定的结论。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（这个就是预期理由的错误）

3，为什么“假定”只能用于否定的结论，而不能用于肯定的结论？ 一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。只有通过严格的逻辑证明才能确认结论的真实性是数学与其他学科最根本的差异。

证明的对象是指被证明的内容，即主项。例如“素数有无穷多个”。主项是“素数”。主项只能是单独概念和普遍概念。单独概念是指独一无二的概念，例如“上海”。因为，所有的数学定理都是全称判断，所有的全称判断的主项都是普遍概念和单独概念。

普遍概念

反映的是一个对象以上的概念，反映的是一个“类”，这个词项的内涵由为了包含在词项外延所必须具有的事物的性质组成。

普遍概念的每一个个体必然具有这个概念的基本属性。

例如：“工人”是一个普遍概念，无论“石油工人”，“钢铁工人”，还是“中国工人”，“德国工人”，它们必然地具有“工人”的基本属性。数学中的普遍概念有例如“素数”，“合数”，等。

“素数有无穷多个”就是普遍概念的命题。

单独概念

是独一无二的概念，外延只有一个，例如“上海”、“孙中山”。数学中的单独概念有“e”、“π”。

“e是一个超越数”就是单独概念的命题。

集合概念

集合概念反映的是集合体，这个词项的外延由词项所应用的事物集合组成，例如“中国工人阶级”就是一个集合概念，集合体的每一个个体不是必然具备集合体的基本属性，例如某一个“中国工人”，不是必然具有“中国工人阶级”的基本属性 [12] 。数学中主项是集合概念的命题有费马大定理和黎曼猜想等。还要说明的是“集合概念”，是指一个集合体，集合体中的个体，不是必然具有集合体的基本属性，所以对集合概念的证明必须使用完全归纳法，对每一个个体逐一证明。 严格说，对集合概念不叫“证明”，只是归纳。（参见任何一本《逻辑学》）。

一个公式是集合概念或者普遍概念的区别

（1），普遍概念命题公式

公式中没有变量，或者有变量n并且可以无穷大，但是根据计算结果可以判断事物的性质，是普遍概念命题公式。

普遍概念的公式，在计算之前，就知道了计算结果的性质。例如，我们看到a2+b2=c2就知道是一个直角三角形。

（2），集合概念公式

特征就是：在证明或者计算某一个具体的数值之前，是无法知道这个数值结果的性质。

这个例如，欧拉在1772年素数公式，是一个集合概念公式：f(n)=n2+n+41

的值都是素数。

对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3...，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71...。当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41整除，因而是合数.。

集合概念的公式不能保证计算结果具有这个公式想要的结果性质，是一种不确定的结果公式。因为集合概念的每一个个体不是必然具有这个概念的基本属性。

二 按照属性或者实体划分

1，属性概念（例如素数；无理数）。

2，实体概念（例如一种形式结构，二项式）。

3，属性包含实体（费马素数）。

4，实体包含属性（孪生素数）。

三 按照逻辑层次

一阶逻辑（所有的数学定理都是一阶逻辑）

二阶逻辑（指变化率的变化率，例如黎曼猜想和费马大定理）

数学证明必须严格按照统一标准

1. 证明对象必须是普遍概念，不得对集合概念进行所谓“证明”。

2. 证明方法必须是正确的演绎证明（数学归纳法必须在可以统一这个普遍概念的全部元素对象的公式下，没有统一公式的数学归纳法无效）。

3. 论据必须是正确的。

4. 不得使用模糊概念，就是说概念必须是唯一的解释，不能有歧义（例如所谓“殆素数”，“充分大”等严禁使用）。

5. 所有结论必须是可以操作的，就是说，证明得出结论以后，通过这个结论计算，人们可以知道结果，而不会出现互相矛盾的结果。

6. 结论必须是全称的，特称结论一律无效。

7，证明过程必须具有传递性，没有传递性的证明是无效的，例如，证明费马大定理过程中，费马大定理与谷山志村猜想没有传递性，所以，证明无效。

传递关系是一种特殊关系，指A与B；B与C；,都有，可以推知A与C也有。

传递关系，甲和乙是亲兄弟，乙和丙是亲兄弟，所以，甲和丙也是亲兄弟（亲兄弟一词必须严格定义，因为有同父同母的亲兄弟；有同父异母的亲兄弟；有同母异父的亲兄弟；有乱伦情况下的亲兄弟，例如儿子与母亲通奸生产的孩子。）。

反传递关系，老张是大张的父亲，大张是小张的父亲，所以，老张不是小张的父亲（父亲也要严格定义，参见上面情况）。

将非传递关系误认为反传递关系：a地到b地100米，b地到c地100米，所以a地到c地不会是100米。（相距多远是非传递关系，误认为是反传递关系。例如等边三角形三个顶点都是相等的）

数学第一层次是数学事实，例如3和5都是素数；

数学第二层次是数学概念，概念是将事实归纳成为一个系统性的含义。例如“孪生素数”；指两个相差2的素数。

数学第三个层次是数学定理，从数学概念到数学定理需要证明。例如欧几里得素数有无穷多个就是一条定理。例如命题“孪生素数有无穷多”，就是还没有得到证明的。

数学第四个层次是数学理论。例如【初等数论】，包括了一系列概念、定理、公式、图像、函数。

第一个层次不会自动上升到第三个层次，必须借助第二个层次即概念，通过演绎法证明完成。

数学全部内容分为三大类，第一是数学想象，用于开拓数学研究范围。第二类是数学计算。第三类是数学证明。想象必须符合事物，符合内在逻辑。计算必须尽可能正确。证明需要严密，符合逻辑。三个类别互相交叉。数学想象是高（看到更远），数学计算是富（掌握丰富的计算方法），数学证明是帅（统帅的帅，没有统帅，计算与想象就不可靠）。