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逆元素

数学名词

逆元素，是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。

基本概念

一个存在单位元素e的代数系统，如果对S内的元素a存在，使得，则称为a对运算“”的左逆元素，亦称左逆元。

一个存在单位元素e的代数系统，如果对S内的元素a存在，使得，则称为a对运算“”的右逆元素，亦称右逆元。

这里的左逆元和右逆元是针对给定运算的某个元素而言的。我们说某个元素有没有逆元素，而不能说某个代数系统有没有逆元素。另外还需要说明：

(1)一个元素可以没有左逆元和右逆元；

(2)一个元素可以只有左逆元；

(3)一个元素可以只有右逆元；

(4)一个元素可以既有左逆元，又有右逆元。

例题解析

例1对于集合以及该集合上的二元运算xy=lcm(x，y)。即求x和y的最小公倍数，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。

解根据定义可求得：

(1)运算可交换、可结合。

(2)，1为单位元。

(3)不存在零元。

(4)只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。

例2 定义实数集R上的二元运算：，R中的元素对运算都存在逆元素吗?

解首先要考虑它是否存在单位元素。

若是左单位元，则对任意r∈R，应有，于是,。由于是任意的，只有。因此，0是运算的左单位元素。同理可证明，0也是运算的右单位元素，故该运算存在单位元素0。

那么R中的元素是否都有逆元素呢?我们设s是r的左逆元，则应有

于是，即，。

同理，可求得的右逆元也为。

因此，只要，R中任意元素均有逆元，其逆元是。例如，5的逆元是，可以验证。

其它相关

左右逆元素相等且唯一的条件是：

1)运算有单位元素；

2)元素a的左右逆元素都存在；

3)满足结合律。

通过以上分析，我们得出如下定理：

定理1 设为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元和右逆元，则有

且y是x的唯一的逆元。

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最新修订时间：2024-02-05 09:32

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