设R为空间X中点的连通关系，每个等价类R[x]称为空间X的一个连通分支。设Y为空间X的非空子集，Y作为X的子空间的连通分支称为X的子集Y的连通分支。

设x，y是空间X中的两点，如果存在X的连通子集 ，则称点 是连通的。

①设X为拓扑空间， ，若C满足

(1)C是拓扑空间X的连通子集；

(2)C不是拓扑空间X的任一个连通子集的真子集。则称C为拓扑空间X的一个连通分支(或极大连通子集)。

②设X是多于一点的拓扑空间，若拓扑空间X的每个单点集都是X的连通分支，则称X为完全不连通空间。

设X为拓扑空间，则

(1)若A是拓扑空间X的连通子集，则存在X的连通分支C，使得 ；

(2)拓扑空间X的任意两个不同的连通分支不相交；

(3)拓扑空间X是若干个连通分支的并。

证明 (1)对于拓扑空间X的连通子集A，记

显然， ，从而根据定理可知 是X的连通子集，并且 ．若有X的连通子集M使得 ，则 ，于是 ，因此 ，所以C是X的极大连通子集，即它是X的连通分支。

(2)设 ， 是X的两个不同的连通分支，若 ，则 是X的连通子集，从而 ，所以根据连通分支 ， 的极大性可知 = 。

(3)因为对于任意 ， 是X的连通子集，从而存在连通分支 使得 。所以 .

此定理表明，拓扑空间X的所有连通分支之族是X的一个分类。换言之，X的每个连通分支都是非空集；X的不同连通分支不相交；X的所有连通分支之并为X。

拓扑空间的每个连通分支都是闭集。

证明 设C是拓扑空间X的任意连通分支，因为C是X的连通子集，从而 也是X的连通子集，所以由连通分支的极大性可知 ，即C是闭集。

若C是空间X的连通分支，则C是连通的。

空间X的每个连通分支C都是X的极大连通子集，换言之，C是一个连通集，且不是其它连通集的真子集。

设 是一同胚映射， 和 分别是空间X和Y的所有连通分支所成的集，则映射是 和 间的一一对应。

例1 多于一点的离散空间是完全不连通空间。

例2 拓扑空间X是连通空间当且仅当X是它的唯一连通分支。

例3 空间X连通 X是它自己唯一的连通分支．

例4 离散空间X的连通分支恰是它的所有单点集 ，

例5 Q作为数直线R的子空间不连通，Q的连通子集也是数直线R的连通子集，从而只能是区间或单点集，但任何区间 ，故Q的每个连通分支是单点集 ，x∈Q．这种连通分支均由一个单点组成的空间通常称为完全不连通空间，因单点集 不是Q的开集，可见连通分支不必是开集。