超限归纳法
超限归纳法
超限归纳法又称超穷归纳法、超限归纳证法,数学中用来证明某种类型命题的重要方法。
介绍
超限归纳法(transfinite induction)是数学归纳法向(大)良序集合比如基数序数的集合的扩展。
超限归纳
假设只要对于所有的 β < α,P(β) 为真,则 P(α) 也为真。那么超限归纳告诉我们 P 对于所有序数为真。
就是说,如果 P(α) 为真只要 P(β) 对于所有 β < α 为真,则 P(α) 对于所有 α 为真。或者更实用的说:若要证明所有序数 α 都符合性质 P,你可以假定它对于所有更小的 β < α 已经是成立的。
通常证明被分为三种情况:
留意,以上三种情况(证明方法)都是相同的,只是所考虑的序数类型不同。正式来说不用分开考虑它们,但在实践时,因为它们的证明过程通常相差很大,所以需要分别表述。在一些情况下,“零情况”会被视为一种“极限情况”,因此可以使用极限序数来证明。
超限递归
超限递归是一种构造或定义某种对象的方法,它与超限归纳的概念密切相关。例如,可以定义以序数为下标的集合序列Aα,只要指定三个事项:
更形式的说,我们陈述超限递归定理如下。给定函数类G1,G2,G3,存在一个唯一的超限序列F带有 ( 是所有序数的真类),使得
,对于所有
,对于所有极限序数。这里的是指F在上的限制。
注意我们要求G1,G2,G3的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。
更一般的说,你可以在任何良基关系R上通过超限递归定义对象。(R甚至不需要是集合;它可以是真类,只要它是类似集合的关系便可,也就是说:对于任何x,使得yRx的所有y的搜集必定是集合。)
同选择公理的联系
有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其实超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合,使其适用超限归纳法。
应用
超限归纳法是数学归纳法的形式之一,可以应用于(大的)良序集,比如说应用到序数或基数,甚至于所有有序的集。
超限归纳法可用于证明一个命题P在所有序数中成立:
基础:证明P(0)成立;
归纳:证明对于任何一个序数b,如果P(a)在所有序数a
后面一步常常分解为两种情况:
能应用和一般的归纳法相似的方法的后继序数(有直接前驱的序数),(P(a)蕴涵P(a+1)),
没有前驱的极限序数,因此不能用这种方法。
显然,极限序数可以通过将极限序数b看成所有小于b的序数的极限来处理:假定在所有的a并集公理实现),则证明了P(b)。
参考资料
最新修订时间:2023-01-06 07:38
目录
概述
介绍
超限归纳
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