费马大定理 (Fermat’s Last Theorem)，又被译为“费马最后定理”，在老的文献中也常被称为费马猜想 (Fermat’s conjecture)。其断言不存在三个正整数x,y,z使得大于 2 时方程xn+yn=zn(也被称为费马方程)有解。

当整数时，关于的方程没有整数解。

丢番图方程是具有整系数的两个或多个未知数的多项式方程，仅考虑它的整数解。其以 3世纪古希腊数学家丢番图命名，他研究了一些这样的方程并提出了解某些丢番图方程的方法。

费马方程就是一类丢番图方程。 费马方程，取为1时，其是线性方程，通解可以的参数形式给出。

而取为2时，其变成了勾股定理所满足的方程，也被称为勾股方程或毕达哥拉斯方程(Pythagorean equation)。该方程也有无穷多组整数解，可以的参数表达式全部给出。

但当大于等于3时，方程将没有除了以外任何整数解了(也称为非平凡整数解)， 此与费马猜想的内容一致。

《算术》中的问题 II.8 问如何将给定的平方数分成另外两个平方；即对于给定的有理数，找到有理数和使得。丢番图展示了的情况（解为）

1637 年前后，费马在他的《算术》拉丁文译本的页边空白处、丢番图平方和问题旁边，写下 了他的断言：

拉丁文原文：

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duosquadratoquadrutos 6 generaliter nullam in infnitum ultra quadratum potestatemin duos eiusdem nominis fasest dividere cuius rei demonstrationem mirabilemsane detexi. Hancmarginis exiguitas non caperet.

尽管当时该命题并不是一个定理，但随着时间的推移，它还是被称为费马最后定理，因为它是费马断言的最后一个尚未得到证明的命题。

费马利用无穷递降法证明了整数边长的直角三角形的面积不是完全平方数。进一步此方法也能说明方程没有非平凡整数解，实际上便证明了费马猜想的情形。因此对奇素数证明费马猜想即可，因为任何方程有非平凡整数解都会导致有非平凡整数解，其中是的任何一个素因子。

在其猜想之后的两个世纪(1637-1839)中，费马猜想进展缓慢。1770 年，莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)给出了的证明。尽管欧拉的证明存在一定缺陷，但由于他证明了所必需的引理，因此通常认为他是第一个证明该情形的。

1825 年前后，法国数学家勒让德 (Adrien-Marie Legendre) 和德国数学家狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 分别独立证明了的情形。

之后还有许多数学家讨论了7 及一些非素数情形的直接证明，但多采用改进的无穷递降法。当逐渐变大，逐个素数证明已经不现实。直到 19 世纪初，法国数学家索菲·热尔曼 (Marie-Sophie Germain) 才做出了关于一类素数情形的突破性工作。

对于指数的费马方程，热尔曼证明了如下结果：

若有素数使得模下既没有连续的两个次幂，又没有一个次幂同余于，则费马方程的解中某个数会被整除。

热尔曼写信给勒让德陈述了该命题，但她最初只证明了之一会被整除，并被勒让德发表， 后来修正后才得到上述结果。

她还构造了索数,其中不被 3 整除。她期望证明如果没有模下连续的两个次幂，那么整除之一，并且希望说明这样的有无穷多个，从而与xyz素因子有限矛盾。

1847年，拉梅 (Gabriel Lamé) 概述了他对费马猜想的证明，该证明基于将费马方程在分圆域上因式分解。但是他的证明有错误，因为他错误地假设了这样的域上的“整数”也有唯一分解性质。刘维尔(Joseph Liouville)很快指出了这一问题，之后库默尔(Ernst Kummer)撰写的一篇论文中也说明了这一点。

库默尔创造出理想数这一精妙的概念一定意义下恢复了这种唯一分解性质。进一步沿着拉梅的办法他证明所有所谓正则素数下的费马大定理，这样的素数约占所有索数的 60.65%(精确的比例还是个猜想，由西格尔 (Carl Ludwig Siegel) 在 1964 年提出)。

20 世纪中叶以后，计算机的发展延续了库默尔对于非正则素数的处理方法，1993 年完成了 对小于四百万的素数情形的证明。

1955年左右，日本数学家志村五郎 (Goro Shimura) 和谷山丰 (Yutaka Taniyama) 观察到椭圆曲线和模形式这两个看似完全不同的数学分支之间可能存在联系。由此他们猜想(称为谷山-志村猜想，后也称为模性定理(modularity theorem))，每条椭圆曲线都是模性的，即可通过-函数唯一对应一个模形式。

这个猜想最初被认为不太可能而不太受待见，但数论学家韦伊(André Weil)发现了一些支持它的证据(尽管没有证明这一点)，此后人们更加认真地对待这一猜想；因此，该猜想也被称为谷山-志村-韦伊猜想。

1984年，弗雷 (Gerhard Frey) 注意到费马方程和谷山-志村猜想之间的联系：如果费马方程对于指数有任何解，则可以证明半稳定椭圆曲线将会有异常的性质以至于它不太可能是模性的。因此证明半稳定椭圆曲线情形的谷山-志村猜想可能能证明费马大定理。弗雷没有充分证明他的观察。塞尔(Jean-Pierre Serre)确定了他的问题(其后被称为epsilon 猜想)，并提供了几乎完整的证明；最终黎贝(Kenneth Alan Ribet) 完全处理了这个问题， 因此该猜想也被称为黎贝定理 (Ribet’s theorem)。

在黎贝的工作后，只需要证明半稳定椭圆曲线情形的谷山-志村猜想即可证明费马大定理，怀尔斯很快便对此进行了尝试。怀尔斯几乎完全保密的情况下开始进行对这个问题的研究，为此他将其他的工作单独而分散地发表，并只将此事告知了他的妻子。怀尔斯最初希望在伽罗瓦理论 (Galois theory)的基础上尝试用归纳法证明，但这种方法似乎不足以解决这一问题，怀尔斯便考虑拓展岩泽理论(Iwasawa theory。到 1991 年，岩泽理论似乎也难以处理这一问题，怀尔斯便寻求其他出路，最终发现科利瓦金 (Victor Kolyvagin) 和弗拉赫 (Matthias Flach) 最新发展出的一个欧拉系统 (Euler system)可以适用。怀尔斯拓展这一办法，并在 1993 年 1 月邀请了普林斯顿大学的同事尼克·卡茨 (Nick Katz) 帮忙检查证明的正确性。

1993 年 5 月中旬，怀尔斯认为自己完成了费马大定理的证明。6 月 21 日至 23 日，怀尔斯在艾萨克·牛顿数学科学研究所的三次讲座上展示了他对半稳定椭圆曲线的谷山-志村猜想的证明， 以及黎贝对 epsilon猜想的证明。然而，在同行评审期间，包括卡茨在内的几位审阅怀尔斯手稿的数学家发现证明中的一个关键点是错误的。怀尔斯错误地估计了一个群的阶的界。卡茨于 1993年 8月 23 日将此消息告诉了怀尔斯。

怀尔斯花了将近一年的时间试图修补这一证明，期间邀请了他以前的学生理查德·泰勒 (Richard Taylor)合作，但没有成功。1993年底已有传言称，怀尔斯的证明有误，但严重程度尚不清楚。数学家们开始向怀尔斯施压，要求他公开他的证明，以便数学家们使用他发展出来的一系列方法。

怀尔斯后来说，1994 年 9月 19 日上午，他几乎要放弃了，几乎认命地接受失败的事实，并决定发表自己的研究成果，以便其他人在此基础上进行改进并修复错误。当时他正在做最后的努力，试图找出他的方法无法奏效的根本原因，这时他突然意识到，尽管科利瓦金-弗拉赫方法无法直接奏效，但若他利用其改进岩泽理论，那么他最初对于岩泽理论的尝试似乎有效。最终他成功了。

1994 年 10 月 24 日，怀尔斯提交了两份手稿，分别是《模椭圆曲线与费马大定理》(Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem) 和《某些赫克代数的环理论性质》(Ring theoretiontion properties of certainHecke algebras)。其中第二份手稿与泰勒合著。这两篇论文经过审查，并作为 1995 年 5 月《数学年刊》(Annalsof Mathematics) 的全文发表。证明中将形变环与赫克代数等同起来的方法(现在称为 R=T 定理)可以证明模性提升定理，有力推动了代数数论的发展。

至此，怀尔斯证明了半稳定椭圆曲线情形的模性定理，便完成了费马大定理的证明。

怀尔斯的工作后，完整的谷山-志村-韦伊猜想最终也被 Fred Diamond（1996） 、Brian Conrad; Fred Diamond; Richard Taylor（1999）和 Christophe Breuil; Brian Conrad; FredDiamond; Richard Taylor（2001）证明。他们在怀尔斯的工作基础上，逐步解决剩余的情况，直到完整结果得到证明。由于其已被完整证明，现多称为模性定理(modularity theorem)。

由于定理证明过于繁琐漫长，且有许多技术性细节，完善的综述可以参考 Darmon, Diamond, Taylor 的,其包含了椭圆曲线 (elliptic curves)、模形式(modularforms)以及伽罗瓦表示(Galoisrepresentations) 等前置知识。此处仅列出思路。

假设有一组满足费马方程的非平凡解，根据黎贝定理，可以得到一条半稳定的椭圆曲线，其不是模性的。因此需要着手证明这样的椭圆曲线必须是模性的。

对于椭圆曲线，首先要证明的是若模伽罗瓦表示是不可约且模性的，则其也是。有了这一结果便只需要选择适当的一个进行处理即可。其中涉及到的最困难的部分是证明若是模性的，则相关的幂次的伽罗瓦表示也是。这便是模性提升问题。

怀尔斯最初的策略是使用归纳证明和类数公式进行计数和匹配，这样，一旦假设被证明适用于一条椭圆曲线，就可以自动扩展为适用于所有后续椭圆曲线。

怀尔斯正是在此遇到了困难，无论是水平岩泽理论，还是他对科利瓦金-弗拉赫理论的扩展都无法解决这一问题。这两种方法本身都无法产生能够覆盖所有类型的半稳定椭圆曲线的类数公式。他最后使用了科利瓦金-弗拉赫理论的技术加强岩泽理论来解决这一问题。 从而，只需要考虑对某个是不可约且模性的即可。

有了怀尔斯的模性提升定理后，可以考虑的可约性，若其是不可约的证明其模性是较为容易的，而若其可约则是不可约的，否则会有一个上的 15 阶子群，将会得到模曲线上的一个非尖有理点，进一步可以得到矛盾。

而当不可约时，进一步可以找到一条半稳定椭圆曲线，满足：且是不可约-模。

从而由模型提升定理及模 3 表示的不可约性知是模性的，再由模 5 表示的同构和模性提升定理得到是模性的。

这样就完成了证明。

费马大定理在数学史上意义重大。1816 年和 1850 年，法国科学院都为费马大定理的普遍证明颁发奖金。尽管库默尔并没有提交研究，法国科学院仍在1857 年向他颁发了 3,000 法郎的奖金和一枚金牌，以表彰他在理想数方面的研究。1883 年，布鲁塞尔科学院也对他颁发了奖项。

1908 年，德国实业家兼业余数学家保罗·沃尔夫斯凯尔 (Paul Wolfskehl) 向哥廷根科学院捐赠了 10 万金马克（这在当时是一笔巨款），作为对费马大定理完整证明的奖励。1908 年 6 月 27 日，科学院公布了颁发该奖项的九条规则，其中包括证明必须在同行评议期刊上发表；发表两年后才能颁发奖项；2007 年 9 月 13 日之后不再颁发奖项。1997年 6 月 27 日，怀尔斯领取了当时价值5 万美元的沃尔夫斯凯尔奖金。1998 年，怀尔斯被国际数学联盟授予银质奖章，以表彰他的成就，取代菲尔兹奖（菲尔兹奖要求获奖者40 岁以下，怀尔斯在 1994 年证明费马大定理时，年41岁）。2016 年 3 月，怀尔斯又被挪威政府授予 60 万欧元的阿贝尔奖。

在怀尔斯的证明之前，沃尔夫斯凯尔委员会收到了数千份错误的证明。仅在第一年，就收到了 621 份证明。到了 20 世纪 70 年代，每月约还有 3-4 份证明提交。数学史学家霍华德·伊夫斯评价道，“费马大定理的独特之处在于，它是迄今为止发表的错误证明最多的数学问题。”

费马大定理最后引导着数学家们完成了对模性定理的证明。后来罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）将其一般化，提出了朗兰兹纲领（Langlands program）。其将伽罗瓦群与自守表示联系起来，进而给出了数论和几何之间的关系，是现代数学的一个核心话题。

广义费马方程要考虑的是指数不一定相等的费马方程，即寻找正整数使得成立。

Beal猜想，又称 Mauldin 猜想或Tijdeman-Zagier 猜想，称广义费马方程无解，若两两互素，且均大于 2。

这一问题还未解决。

逆费马方程，即形如：的关于正整数的方程。

该方程的所有解均由亨德里克·伦斯特拉 (Hendrik Lenstra)于 1992 年得到。在要求次方根为实数且为正数的情况下，所有解均以以下形式给出：其中为正整数，互素。

定义一个整数的根 (radical)为其不同素因子的乘积，记作rad()。则对两两互素、满足的整数，通常有rad()。abc猜想给出了这种“通常”的一个刻画，即对任意正实数,只有有限多个满足两两互素及的三元组,使得rad。

这一猜想仍未解决。其一个版本可以推出费马大定理。