在研究函数的连续性基础上产生的一类重要的函数。R.L.贝尔于1899年提出如下的函数分类方法：以区间【0,1】上的函数为例，【0,1】上的连续函数称为0类函数。0类函数序列点点收敛的极限函数，当它不是0类函数时，就称为1类函数。1类函数序列点点收敛的极限函数，如果不是0类或1类的函数时，便称为2类函数。依次对每一个自然数n，可以引入n类函数的概念。

在数学，贝尔函数是从获得的连续函数的函数，通过形成的功能序列的逐点限制的操作的超限迭代。它们是由René-Louis Baire于1899年引入的。Baire集是一个特征函数是Baire函数的集合。

对于任何可数的序数α，α类的贝尔函数形成了在拓扑空间上定义的实值函数的向量空间，如下所示。

一些作者通过从类α的函数中去除小于α的类的所有函数来稍微不同地定义类。这意味着每个Baire函数都有一个定义良好的类，但给定类的函数不再构成一个向量空间。

亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）证明了（对于单位区间的函数）每个可数序数的Baire类包含的函数不在任何较小的类中，并且存在不在任何Baire类中的函数。

例子：

任何微分函数的导数都是1类的。导数不连续（x= 0）的可微函数的一个例子是等于 当x≠0时，以及当x= 0时为0。一个无限的相似函数的总和（通过有理数进行缩放和移位）甚至可以给出一个可微函数，其导数在稠密集上是不连续的。然而，它必然具有连续性点，这很容易从Baire表征定理中得到（K=X=R）。

整数集合的特征函数，如果x是整数，则等于1，否则为0。（无数个大的不连续点）

Thomae函数，无理数x为0，有理数p/q（简约形式）为1 /q。（一组稠密的不连续性，即有理数的集合。）

康托尔集合的特征函数，如果x在康托尔集合中，则等于1，否则为0。这个函数对于一组不可数的x值是0，对于不可数组是1。它在任何等于1的地方都是不连续的，在任何等于0的地方都是连续的。它通过连续函数来近似 ，在哪里 是Cantor集合中距离最近点的距离。

贝尔函数表征定理指出，在分支空间X上定义的实值函数f是Baire-1函数，当且仅当对于X的每个非空封闭子集K，f对K的限制都有一个相对连续点到K的拓扑。

通过Baire的另一个定理，对于每Baire-1功能的连续性的点是comeagerģδ集（1995年Kechris，定理（24.14））。

例子：

不属于等级1的区间[0,1]上的Baire二类函数的一个例子是有理数的特征函数， ，也被称为Dirichlet函数。到处都是不连续的。这可以通过注意到，对于任何有限的理性集合而言，这个集合的指标函数是Baire 1：即函数 同样收敛于指标函数 ，在哪里 是理性的有限集合。由于理性是可数的，我们可以看看这些事情的点状限制 ，在哪里 是合理的列举。根据上述定理，不是Baire-1：不连续点是整个区间。